专题02 比较大小常见题型的研究（1）-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题02 比较大小常见题型的研究（1） 一、真题剖析 1、【2022年全国甲卷】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，而，所以，即，所以． 又，所以，即， 所以．综上，． 故选：A. 【试题情景】本题属于课程学习情境，本题是以对数值、对数为载体，考查基本不等式比较大小的问题。 【必备知识】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题考查考生对函数图像与性质的数形结合思想的理解与应用。 2、【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【解析】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【试题情景】本题属于课程学习情境，本题是以对数值、对数为载体，考查比较大小的问题。 【必备知识】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用， 【能力素养】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.考查推理能力。 二、题型选讲 题型一 、运用不等式的性质 此类问题考查了不等式的性质：(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.(4)对称性：a>b⇔b<a；(5)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　(6)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(7)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；c<0时应变号．(8)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(9)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)． 例1、（2021·江苏省滨海中学高三月考）下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，不等式不成立，故是假命题； 对于B选项，当时，不满足，故为假命题； 对于C选项，当时，，不满足，故为假命题. 对于D选项，由于，所以，即，故为真命题. 故选：D. 变式1、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式恒成立的是( ) A．＜ B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| 【答案】C 【解析】由题意可知， 若a＞0＞b，则＞，故选项A错误；若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，故选项B错误；因为a＞b，且＞0，所以＞，故选项C正确；若c＝1，则选项D错误；综上，答案选C． 变式2、(2022·江苏海安中学期初)(多选题)已知a，b为正数，且a－b＝1，则 A．a2＋b2＞1 B．a3－b3＜1 C．2a－2b＞1 D．2log2a－log2b＜2 【答案】AC 【解析】由题意可知，对于选项A，a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝1＋2ab，因为a，b＞0，所以1＋2ab＞1，所以a2＋b2＞1，故选项A正确；对于选项B，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a2＋ab＋b2＝(a－b)2＋3ab＝1＋3ab，因为a，b＞0，所以1＋3ab＞1，所以a3－b3＜1，故选项B错误；对于选项C，因为a－b＝1，所以a＝1＋b，a，b＞0，所以2a－2b＝2－2b＝2b＞1，故选项C正确；对于选项D，当a＝2，b＝1时，2log2a－log2b＝2－0＝2，所以选项D错误；综上，答案选AC． 题型二、运用函数的单调性 比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 例2、【2020年新课标3卷文科】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 故选：A. 变式1、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考) 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数和对数运算的转换可确定；设，利用导数可确定当时，，由此得到，进而得到结果. 【详解】，，，，， ，即，； ，即，； ，即，；，即. 设，则， 当时，，又，，， 在上单调递减，，即当