第1章 2.3 直线与圆的位置关系（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

[基础巩固] 1．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a＝(　　) A．0或4　　　　　　　 B．－2或3 C． D． 解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2，又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或0.故选A． 答案　A 2．如果直线ax＋by＝2与圆x2＋y2＝1有两个不同的公共点，那么点(b，a)与圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 解析　因为直线ax＋by＝2与圆x2＋y2＝1有两个公共点，所以有＜1，即2＜. 因为点(b，a)与圆x2＋y2＝4的圆心的距离为，圆x2＋y2＝4的半径为2，所以点(b，a)在圆外．故选A． 答案　A 3．已知直线l过点P(2,4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为(　　) A．x＝2或3x－4y＋10＝0 B．x＝2或x＋2y－10＝0 C．y＝4或3x－4y＋10＝0 D．y＝4或x＋2y－10＝0 解析　由22＋42＝20＞4，得点P在圆外． 当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k， 则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0， ∴＝2，解得k＝. 故所求切线方程为3x－4y＋10＝0. 当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件． 故直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝2.故选A． 答案　A 4．过点A(4,1)的圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)则圆C的方程为________． 解析　由题意可知，圆心必在过点B且与直线x－y＝1垂直的直线上，而此直线方程为y＝－x＋3，故设圆的方程为(x－a)2＋(y＋a－3)2＝r2，由条件知＝解得a＝3，又可求r2＝2，故所求圆的方程是(x－3)2＋y2＝2. 答案　(x－3)2＋y2＝2 5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 解析　化圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，所以直线过圆心．由圆的方程得圆心为(1,2)，又直线过原点，故由两点式得该直线的方程为2x－y＝0. 答案　2x－y＝0 6．(一题多解)求与x轴切于点(5,0)并在y轴上截取弦长为10的圆的方程． 解析　解法一　设所求圆的方程为(x－5)2＋(y－b)2＝b2，并且与y轴交于A、B两点， 由方程组， 得y＝b±，∵|yB－yA|＝10， ∴|b＋－b＋|＝10，b＝±5. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y±5)2＝50. 解法二　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵圆与x轴相切于点(5,0)，① ∴r＝|b|，a＝5，② ∵圆在y轴上截得的弦长为10， ∴a2＋2＝r2，③ 由①②③得a＝5，r＝5. 所求圆的方程为(x－5)2＋(y±5)2＝50. 答案　(x－5)2＋(y±5)2＝50 [能力提升] 7．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　) A． B． C．π D． 解析　圆心到直线的距离d＝＝. 又圆的半径r＝1，∴直线x＋7y－5＝0被圆x2＋y2＝1截得的弦长为，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即×2πr＝π. 答案　C 8．已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：y＝kx，则下列命题中正确的是(　　) A．对任意实数k和θ，直线l和圆M没有公共点 B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切 C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切 D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3 解析　圆心M(－cos θ，sin θ)到直线l的距离d＝＝＝|sin(θ＋φ)|，其中tan φ＝k. ∵d≤1，∴直线l与圆M有公共点，A错误；当θ＝0时，d＝＜1恒成立，即不存在k使得直线l和圆M相切，B错误； 不论k为何值，d＝|sin(θ＋φ)|＝1有解， 即存在实数θ，使得直线l与圆M相切，C正确； ∵d≤1，且圆上任一点到直线l的距离不超过d＋1，∴d＋1≤2，D错误．故选C． 答案　C 9．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________． 解析　利用直线与圆的位置关系建立等式求解． 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线