3.2 基本不等式（练习）-高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

3.2基本不等式 一、单选题 1．已知为正实数，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，可得， 则有，解得， 当且仅当，取到最小值.故选：B. 2．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ） A．8 B．16 C．32 D．36 【答案】B 【解析】因为正实数a，b满足， 所以，即，当且仅当时，即时取等号. 因为，所以， 所以. 故的最小值是16.故选：B 3．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（       ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式对于一切恒成立， 所以对一切恒成立， 所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值为，故选：C. 4．已知集合，则的子集的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，因此它的子集个数为4．故选：D． 5．若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 6．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 A．， B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意得，当时， 恒成立， 又因为，当且仅当时取等号， 所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为． 故选：． 7．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（       ） A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位 【答案】D 【解析】解：设每生产单位试剂的成本为， 因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元， 职工的工资总额为元，后续保养总费用为元， 则， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D． 8．若，则下面结论正确的有（        ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】B 【解析】对于选项A：若， 由基本不等式得，即， 当且仅当时取等号；所以选项A不正确； 对于选项B：若， ， ， 当且仅当且， 即时取等号，所以选项B正确； 对于选项C：由， ， 即， 如时，，所以选项C不正确； 对于选项D：，当且仅当时取等 则有最大值，所以选项D不正确； 故选：B 二、多选题 9．已知正实数a，b满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于，当时，满足，此时，错误； 对于，，则，变形可得，当且仅当时等号成立，正确； 对于，，变形可得，则有，当且仅当时等号成立，正确； 对于，，当且仅当时等号成立，正确； 故选：ACD 10．设，，，以下四个命题中正确的是（       ）． A．若为定值，则有最大值 B．若，则有最大值4 C．若，则有最小值4 D．若总成立，则的取值范围为 【答案】CD 【解析】为定值时，应有最小值，∴A不正确； 当时， ，∴B不正确； ， 当且仅当，等号成立，∴C正确； 由，又， ∴，∴，∴D正确． 故选：CD. 11．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（       ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】AC 【解析】，解不等式得或，故， 等号当且仅当时取得，故有最小值9，则A对，B错； ，解不等式得或，又， 故，当且仅当时取等号，故有最小值6，则C对，D错， 故选：AC． 12．下列说法正确的是（       ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】AB 【解析】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确； ，因为，所以，B正确； ，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误； 当时，，D错误. 故选:AB. 三、填空题 13．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________. 【答案】 【解析】如图所示： 设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知， 设围成的整个矩形场地的面积为， 所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此. 故答案为： 14．已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 15．若正数、满足，则的最小值为________. 【答案】 【解