3.2 基本不等式（课件）-高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

3.2 基本不等式 数学（苏教版2019） 必修第一册 第3章 不等式 学习目标 课程标准 重难点 1、理解算术平均数、几何平均数的概念； 2、基本不等式的探索、证明及简单应用； 3、体会证明不等式的基本思想方法—比较法、综合法与分析法．   1．掌握基本不等式 (a>0，b>0) 2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题 3．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值 4．能够利用基本不等式解决实际问题 当堂检测 知识回顾 一、基本不等式 当堂检测 讲授新课 知识点一　对基本不等式的理解 讲授新课 讲授新课 讲授新课 讲授新课 知识点二　利用基本不等式比较大小 讲授新课 讲授新课 讲授新课 讲授新课 知识点三　利用基本不等式求最值 当堂检测 当堂检测 讲授新课 知识点四　利用基本不等式解决实际问题 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 谢谢~ 1．如果a>0，b>0，，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 知识点二　基本不等式与最大值最小值 【思考】 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 5.基本不等式成立的条件一 二 三 . 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 . (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . 2. x＋的最小值是2吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 【例1】（多选题）给出下面四个推导过程正确的是（ ） A．∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2； B．∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； C．∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. D．不等式，当且仅当，即时等号成立 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 【答案】AC 【解析】A.∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确． B.∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的． C.由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故C正确． D．不等式，只有a>0时才成立，且等号成立的条件是a＝1. 所以选AC。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 【跟踪训练】 1.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 【答案】② 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 【方法总结】 （1）．基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 【例2】若0<a<1,0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2，2ab中的最大者． 【解析】∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab， ∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择． 而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b，∴a＋b最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共1页 【方法技巧】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模