第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结 题型目录 题型一：利用均值不等式求最值 题型二：利用焦半径范围求最值 题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题 题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题 题型五：椭圆有关向量积最值问题 题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值 典型例题 题型一：利用均值不等式求最值 【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（       ）． A．13 B．12 C．25 D．16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果. 【详解】 由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：， （当且仅当时取等号）， 的最大值为. 故选：C. 【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的定义可得； 利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号. 【详解】 根据椭圆的定义可知，，即， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故选：A 【题型专练】 1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】 在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：A. 2．（2022·全国·高二课时练习）已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得的范围，及，从而可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点， 所以， 且，则， 则， 因为，所以， 所以， 即. 故选：B. 3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围． 【答案】. 【分析】由椭圆的定义，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】由题可知，， 因为， ∴时，有最大值，或时，有最小值， 即的取值范围为. 题型二：利用焦半径范围求最值 【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 【答案】详见解析. 【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证. 【详解】由，可得， ∴，又， ∴， 即. 【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】[1,3] 【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围. 【详解】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是. 故答案为：. 【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____. 【答案】 【分析】设点，可得出，其中，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】设点，则，可得，其中， ， 当且仅当时，取得最大值. 故答案为：. 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（       ） A．（0，） B．（0，2） C．（l，2） D．（，2） 【答案】A 【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果. 【详解】如下图，延长、相交于点，连接， 因为， 因为为的角平分线，所以，，则点为的中点， 因为为的中点，所以，， 设点，由已知可得，，， 则且，且有， ， 故， 所以，. 故选：A. 【题型专练】 1.平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上， ， 则可得的最小值为，最大值为， 的取值范围是. 故选：A. 2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意知 ，所以，解得，所以为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以 ，因的最小值为，所以 3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】 如图，直线与直线相交于点N，