第13讲 椭圆及其标准方程5种常考基础题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第13讲 椭圆及其标准方程5种常考基础题型 考点分析 考点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 注意：①若，则动点的轨迹为线段； ②若，则动点的轨迹无图形． 考点二：椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 考点三：椭圆的通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． 考点四：椭圆上一点的有关最值 ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 题型目录 题型一：椭圆的定义 题型二：利用椭圆定义的解题 题型三：利用椭圆定义求范围 题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题 题型五：椭圆的标准方程 典型例题 题型一：椭圆的定义 【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【解析】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，故选：B 【例2】设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（       ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【解析】 【分析】 由条件可得，即可得答案. 【详解】 因为，所以动点M的轨迹是线段， 故选：D 【例3】已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　） A．（x≠0） B．（x≠0） C．（x≠0） D．（x≠0） 【答案】B 【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12， ∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4∴b2＝20， ∴椭圆的方程是故选B． 【题型专练】 1．已知动点满足(为大于零的常数)﹐则动点的轨迹是（ ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 【答案】C 【解析】的几何意义为点与点间的距离， 同理的几何意义为点与点间的距离， 且 又由为大于零的常数，可知， 当且仅当，即时取等， 故， 即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于， 所以动点的轨迹为椭圆， 故选：C. 2.已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】A 【解析】 ， 故， 又， 根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆. 故选：A. 3.（多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错； B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确； C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确； D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错. 故选：BC 4.已知△ABC的周长为10，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵△ABC的周长为10，顶点，， ∴，， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆，∵，∴， 又因为三点构成三角形， ∴椭圆的方程是. 故选：A． 题型二：利用椭圆定义的解题 在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接设直线和椭圆联立．所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题． 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若，则等于（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】因，所以 【例2】椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点时，小球经过的最短路程是（ ） A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】因最短路程 【例3】（2021新高考1卷） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】因，所以 【例