单元复习01 第一章 空间向量与立体几何【过知识】-2022-2023学年高二数学单元复习过过过（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 章末复习 1 1 知识框架 2 重点题型 一、空间向量的概念及运算 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础. 2.向量的运算过程较为繁杂， 要注意培养学生的数学运算能力. 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 跟踪训练　 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 2 重点题型 ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 2 重点题型 二、利用空间向量证明位置关系 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证). 2 重点题型 跟踪训练　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； 证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5， 所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点， 直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4). 2 重点题型 (2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1. 解　假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1， 所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4， 所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点. 2 重点题型 三、利用空间向量计算距离 1.空间距离的计算思路 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 1.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足 cos θ＝|cos〈m，n〉|. 2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 四、利用空间向量求空间角 2 重点题型 例5　如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝ ，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线AF和BE所成的角； ∴直线AF和BE所成的角为90°. 2 重点题型 (2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值. 2 重点题型 解　设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)， 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 跟踪训练　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝ ，AB＝4. (1)求平面BDP与平面PAD的夹角的大小； 2 重点题型 解　取AD的中点O，设AC∩BD＝E，连接OP，OE. 因为PA＝PD，所以OP⊥AD， 又因为平面PA