2.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019必修第一册）

2．2　基本不等式 知识点一　基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【题型目录】 题型一、基本不等式比较大小 题型二、基本不等式求和的最小值 题型三、基本不等式求积的最大值 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 题型五、基本不等式“1”的妙用求最值 题型六、条件等式求最值 题型七、基本不等式的恒成立问题 题型八、对勾函数求最值 题型九、有关基本不等式的应用题 题型十、证明不等式 题型一、基本不等式比较大小 1．（多选）a、b是正实数，以下不等式 ①；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④恒成立的 序号为（       ） A．① B．② C．③ D．④ 2．若 ，且，试找出2，2ab中的最大者． 题型二、基本不等式求和的最小值 1．（1）若，求的最小值，并求此时的值． （2）若实数，求的最小值，并求此时的值． （3）求函数的最小值． （4）已知，求的最小值. （5）已知，求函数的最大值． 2．已知，，求的最小值． 3．已知，，，则的最小值为（       ） A．2 B．4 C． D． 4．已知，则的最小值是______． 题型三、基本不等式求积的最大值 1．（1）已知，且，求的最大值； （2）已知，，且，求的最大值． （3）已知，，且满足，求的最大值 2．求函数的最大值． 3．已知正数满足，求下列式子的最大值． (1) (2) 题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值 1．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 2．函数的最大值为（       ） A．3 B．2 C．1 D．-1 题型五、基本不等式“1”的妙用求最值 1．已知，，，则的最小值为______． 2．非负实数x，y满足，则的最小值为______． 3．已知非负实数，满足，则的最小值为______________. 4．已知正实数a，b满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 5．已知正实数、满足，则的取值可能为（       ） A． B． C． D． 6．已知实数，，且满足，则的最小值为__． 题型六、条件等式求最值 1．求解下列问题： (1)若，且，求的最小值； (2)若，且，求的最小值. 2．设，则的最小值等于（　　） A．2 B．4 C． D． 3．已知，满足，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．2 4．若正数a，b满足，则的最小值是__． 5．若，且满足，则的最小值为______． 题型七、基本不等式的恒成立问题 1．设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 4．若对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________. 题型八、对勾函数求最值 1．已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．求函数的最值. 3．求函数，的最大值与最小值. 题型九、有关基本不等式的应用题 1．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：） (1)试用x，y表示s； (2)求s的最大值，并求出此时x，y的值． 2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求的值及表达式 (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 题型十、证明不等式 1