第1章 空间向量与立体几何 章末达标检测（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

(时间120分钟，满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．(2021·雅安期末)正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析　设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1) ∴＝(－1,0,1)， ＝(－1,1,0) 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z) ∴令x＝1， ∴n＝(1,1,1)，又∵＝(0,0,1)， ∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为＝. 答案　B 2．已知直线l1的方向向量m＝(2，m,1)，l2的方向向量n＝，且l2⊥l1，则m＝(　　) A．8　　　　　　　　 B．－8 C．1 D.－1 解析　∵直线l1的方向向量m＝(2，m,1)， l2的方向向量n＝，且l2⊥l1， ∴m·n＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8.故选B. 答案　B 3．若a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，〈a，b〉＝，则z等于(　　) A. B.－ C．± D.± 解析　cos〈a，b〉＝＝＝，可得z＝±. 答案　C 4．已知正四面体A­BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝(　　) A. B. C．－ D.－ 解析　由正四面体A­BCD的棱长为1，且＝2，＝2，得＝，则·＝·＝×1×cos 120°＝－，故选D. 答案　D 5．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果是(　　) A. B.2 C．0 D.2 解析　如图，F是BC的中点，E为DF的三等分点， ∴＝，∴＝， 则＋－－ ＝＋－－ ＝＋－ ＝－＝0 答案　C 6．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝1 B.x＝1，y＝ C．x＝，y＝ D.x＝，y＝ 解析　＝＋＝＋(＋)＝＋＋，故x＝y＝. 答案　C 7．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 解析　由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)， ∴　　∴ 答案　D 8．已知四面体O­ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析　＝－＝－， ＝－， 于是||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－， 于是cos ，＝＝＝－， 故异面直线BD与AC所成角的余弦值为. 答案　C 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A­BD­C，则以下四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．△ACD是等边三角形 C．AB与平面BCD所成的角为60° D．AB与CD所成的角为60° 解析　如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz， 设正方形ABCD边长为，则 D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)， ＝(2,0,0)，·＝0， 故AC⊥BD，A正确． 又||＝，||＝，||＝， 所以△ACD为等边三角形，B正确． 对于C，为平面BCD的一个法向量， cos ，＝ ＝＝＝－， 因为直线与平面所成的角α∈(0°，90°)， 所以AB与平面BCD所成角为45°.故C错误． 又cos ，＝ ＝＝－. 因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以AB与CD所成角为60°，故D正确． 答案　ABD 10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，A1A，A1B1的中点，下列命题中正确的是(　　) A．EF⊥B1C B．BC1∥平面EFG C．A1C⊥平面EFG D．异面直线FG，B1C所成角的大小为 解析　如图， A．连接AD1，则EF∥AD1∥BC1，而BC1⊥B1C， 则EF⊥B1C，故A正确； B．∵BC1∥EF，EF⊂平面EFG，BC1⊄平面EFG， ∴BC1∥平面EFG，故B正确； C．AC1⊥EF，AC1⊥EG，EF∩EG＝E， ∴A1C⊥平面EFG，故C正确； D．FG∥AB1，∴∠AB1C为异面直线FG，B1C所成角，连接AC，可得△AB1C为等边三角形， 则∠AB1C＝， 即异面直线FG，B1C所成角的大小为，故D错误．故选A，B，C. 答案ABC 11．在正四面体P­ABC中，D，E，F分别