第1章 §1.2.5 空间中的距离（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

[基础巩固] 1．(2021·陕西西安高二期末)已知平面α的一个法向量为n＝，点A在平面α内，且P到平面α的距离为，则x的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．11 C．－1或－11 D.－21 解析　＝(x＋2,2，－4)，而d＝＝， 即＝， 解得x＝－1或x＝－11. 答案　C 2．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120° 的二面角，则AB的长为(　　) A. B.2 C．3 D.4 解析　过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则||＝3，||＝2，||＝5.又＝＋＋，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2. 答案　B 3．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120° ，若△ABC所在平面α外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到α的距离是(　　) A．13 B.11 C．9 D.7 解析　作PO⊥α于点O，连接OA，OB，OC(图略)， ∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，∴OA＝＝＝5， ∴PO＝＝11为所求． 答案　B 4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　) A.a B.a C.a D.a 解析　由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离，以D为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝＝＝a. 答案　D 5．已知过点P(1,0,0)的两条直线l1与l2，l1平行于向量s1＝(0,1，－1)，l2平行于向量s2＝(1,1,0)，则点P1(0,1，0)到直线l1与l2确定的平面π的距离为 ． 解析　设平面π的法向量n＝(x，y，z)， 由s1·n＝s2·n＝0得 取x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)， 又因＝(－1,1,0)， 所以点P1到平面π的距离为|·|＝＝. 答案　 6．如右图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若PA＝AD＝3，CD＝，求点F到平面PCE的距离． 解析　如右图，建立空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)， E，F，C(，3,0)． 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)， ＝，＝. 即 取y＝－1，得n＝(，－1,1)．又＝，故点F到平面PCE的距离为 d＝＝＝. [能力提升] 7.(多选题)(2021·思明月考)如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，若CF⊥平面B1DF，则AF的长度为(　　) A．a B.a C．2a D.2a 解析　因为CF⊥平面B1DF， 所以CF⊥DF，在矩形ACC1A1中， 设AF＝m，CD2＝DF2＋CF2＝CC＋DC＝10a2，① CF2＝4a2＋m2，DF2＝(3a－m)2＋a2，② 联立①②解得m＝a或m＝2a，则AF的长度为a或2a，故选A，C. 答案　AC 8.如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)． 根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]， 点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]， 则PQ＝ ＝ ＝， 当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值. 答案　C 9.如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为 ． 解析　由已知，得AB，AD，AP两两垂直． ∴以A为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)， 则即 ∴可取n＝(1,0,1)， 又＝(2,0,0)，AD∥平面PBC， ∴所求距离为＝. 答案　 10．已知长方体ABCD­A1B1C