第1章 §1.2.4 二面角（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

[基础巩固] 1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则(　　) A．∠ADE是二面角A­PC­B的平面角 B．∠AED是二面角A­PB­C的平面角 C．∠DAE是二面角B­PA­C的平面角 D．∠ACB是二面角A­PC­B的平面角 解析　由二面角的定义及三垂线定理，知选B. 答案　B 2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A­BC­D的大小为(　　) A．30°　 　 　　　　　　 B．45° C．60° D.90° 解析　如图取BC的中点为E，连接AE，DE， 由题意得AE⊥BC，DE⊥BC. 且AE＝DE＝a，又AD＝a， ∴∠AED＝60° ，即二面角A­BC­D的大小为60°. 答案　C 3．AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(　　) A．60° B.30° C．45° D.15° 解析　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.易得BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC， 又BC∩AC＝C， ∴BC⊥PC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角． 在Rt△PAC中，PA＝AC，∴∠PCA＝45°. 答案　C 4．(2021·惠山区模拟)如图，正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的所成的角为(　　) A．30° B.45° C．60° D.90° 解析　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1. 则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)． 取PD中点为E， 则E， ∴＝， 易知是平面PAB的法向量， 是平面PCD的法向量，∴cos〈，〉＝， ∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°. 答案　B 5．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是 ． 解析　设二面角大小为θ，由题意可知cos(π－θ)＝＝＝，所以θ＝120°. 答案　120° 6．在空间四面体O­ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为 ． 解析　·＝·(－) ＝·－· ＝||·||cos－||·||·cos ＝||(||－||)＝0. ∴cos 〈，〉＝＝0. 答案　0 [能力提升] 7.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A. B. C. D. 解析　如图所示，连接BD，AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝， 所以B，F，C， D.结合图形可知，＝且为平面BDF的一个法向量， 由＝，＝， 可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)． 所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝， 所以tan〈n，〉＝. 即二面角C­BF­D的正切值为. 答案　D 8.(多选题)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1A上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的二面角可以是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C.　　　　　　　　　 D. 解析　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AA1上一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1.此时，平面EFB与底面ABCD所成二面角最大为. 当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角最小为. ∴平面EFB与底面ABCD所成的二面角的范围是，故选A，C，D. 答案　ACD 9．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于 ． 解析　∵底面对角线长为2， ∴底面边长为2，从而利用体积得四棱锥的高为3， 所求二面角的正切值为＝＝. ∴侧面与底面所成的二面角为. 答案　 10．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，平面ABCD是一个直角梯形，AB⊥AD，AB，CD为梯形的两腰，且AB＝AD＝AA1＝a. (1)若截面ACD1的面积为S，求点D到平面ACD1的距离； (2)当为何值时，平面AB1C⊥平面AB1D1. 解析　(1)由VD­ACD1＝VC­ADD1， 过C作CE⊥AD，垂足为E. ∵AA1⊥平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AA1D1D， ∴CE⊥平面AA1D1D，∴CE＝a是C到平面ADD1的距离，设点D到平面A