第1章 §1.2.3 直线与平面的夹角（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

[基础巩固] 1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是(　　) A．∠C1BB1 B．∠C1BD C．∠C1BD1 D．∠C1BO 解析　由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D内的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D. 答案　D 2．(2022·湖北武汉高二月考)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为16，点P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2,2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析　如图所示： 设正方体的边长为a，则a3＝16，故a＝2，即AB＝2， ∵A1C1＝a＝4，连接C1P，C1P＝＝＝2， ∵A1P＝2，则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP， 可知AC⊥平面BDD1B1，则∠CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角， 在直角三角形CPO中，∴sin∠CPO＝＝＝. 答案　B 3．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60° ，则PA与平面PBC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析　如图，设A在平面BPC内的射影为O， ∵∠APB＝∠APC. ∴点O在∠BPC的角平分线上， ∴∠OPC＝30° ，∠APO为PA与平面PBC所成的角． ∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC， 即cos 60° ＝cos∠APO·cos 30° ， ∴cos∠APO＝. 答案　D 4．等腰Rt△ACB的斜边AB在平面α内，若AC与α成30° 角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 ． 解析　作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO， 则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角． 在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2， 在等腰Rt△ACB中，由AC＝2得CM＝. 在Rt△CMO中， sin∠CMO＝＝＝.∴∠CMO＝45°. 答案　45° 5.在正四棱锥S ­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线AC与平面SBC所成的角的正弦值为 ． 解析　以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(－a，0,0)，S，从而＝(2a,0,0)， ＝(a,0，a)＝(a，a,0)． 设平面SBC的一个法向量为n可求得n＝(1，－1,1)， 则cos〈，n〉＝＝＝， 所以直线AC与平面SBC所成的角的正弦值为. 答案　 6.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点，若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值． 解析　设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点， 分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 则D(0,0,0)，A(0,0,2)， M(1,0,2)，N(0,1,0)， 可得＝(－1,1，－2)． 又＝(0,0,2)为平面DCEF的一个法向量， 可得cos〈，〉＝＝－. 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 |cos〈，〉|＝. [能力提升] 7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 则A1(1,0,1)，E， F，B1(1,1,1)． ＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)， 则即 令y＝2，则 ∴n＝(1,2,1)，cos〈n，〉＝＝， 即线面角的正弦值为. 答案　B 8．(多选题)若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角可能是(　　) A. B. C. D. 解析　设a与l所成的角为θ， 由公式cos θ＝cos θ1cos θ2， 其中θ1＝，θ2∈，得0≤cos θ≤， ∴≤θ≤. 答案　ABD 9．已知在三棱锥S­ABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 ． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0,0,3)，A(0,0,0)， B(，1,0)，C(0,2,0)． ∴＝(，1,0)，＝(，1，－3)，＝(0,2，－3)． 设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)． 则 令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3,2)． 设AB与平面SBC所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝. 答案　 10