第1章 §1.2.2 空间中的平面与空间向量（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

[基础巩固] 1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D.l与α斜交 解析　∵u＝－2a，∴a∥u.∴a⊥α.∴l⊥α，故选B. 答案　B 2．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　) A．α∥β B.α⊥β C．α与β相交不垂直 D.以上都不对 解析　＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)， n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1) ＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1) ＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0. ∴n⊥，n⊥.∴n也为α的一个法向量． 又α与β不重合，∴α∥β. 答案　A 3.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的(　　) A．内心 B.外心 C．垂心 D.重心 解析　连接AG，BG，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．又PA⊥BC，由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心，故选C. 答案　C 4．已知平面α的一个法向量a＝(x,1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝ . 解析　因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1. 答案　－1 5．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P的坐标是(x,0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是 ． 解析　根据题意，可得＝(－1，－1，－1)， ＝(2,0,1)，＝(－x,1，－y)． ∵PA⊥平面ABC，∴⊥且⊥，可得 解得x＝－1，y＝2，可得点P的坐标是(－1,0,2)． 答案　(－1,0,2) 6．(2021·辽宁盘锦高二期中)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB. 证明　以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系． 设E(a,0,0)，其中a＞0， 则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F. 所以＝，＝(2a,1，－1)，＝(2a,0,0)．因为·＝0，·＝0. 所以EF⊥AB，EF⊥PB.又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B， 所以EF⊥平面PAB. [能力提升] 7．(多选题)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(0，－2,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析　在A中，a·n＝0，有可能使l∥α.在B中，a·n＝1＋0＋5＝6，不可能使l∥α，在C中，a·n＝－1，不可能使l∥α.在D中，a·n＝0－3＋3＝9，有可能使l∥α.故选A，D. 答案　AD 8．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是(　　) A．平行 B.垂直 C．在平面内 D.不能确定 解析　因为·＝0，·＝0，所以为底面ABCD的一个法向量，故PA⊥底面ABCD. 答案　B 9．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝ . 解析　因为⊥，所以·＝0， 所以3＋5－2z＝0， 所以z＝4. 因为＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC， 所以即 解得故＝ 答案　 10．在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系． 则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E. 证法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0,0,1)，＝，∴＝，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD， ∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCD. 证法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)． 易知＝(－1,1,0)，＝， ∴， 即. 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)． ∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)． ∵n