第1章 §1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

[基础巩固] 1．(2021·天津市第四十二中学高二月考)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ，则(　　) A．x＝6 ，y＝15　　　　 B．x＝3 ，y＝15 C．x＝ ，y＝ D.x＝6 ，y＝ 解析　∵l1∥l2，∴a ∥ b，∴＝＝，x＝6， y＝.选D. 答案　D 2.如图所示，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 解析　分别以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则D(0,0,0)，F(0，1,0)，D1(0,0,2)， 设E(2,2，z)，＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)， 因为·＝0×2＋1×2－2z＝0， 所以z＝1，所以B1E＝EB. 答案　A 3．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成的角的余弦值为(　　) A. B.－ C. D.－ 解析　＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3) 而cos〈，〉＝＝＝. 故直线AB和CD所成角的余弦值为. 答案　A 4．(2021·重庆检测)已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝，若a∥b，则k＝ . 解析　当k＝0时，a与b不平行， 当k≠0时，由＝＝，解得k＝－2. 答案　－2 5．直线ax＋2y＋3＝0和直线2x＋ay－1＝0具有相同的方向向量，则a＝ . 解析　因为直线ax＋2y＋3＝0和直线2x＋ay－1＝0具有相同的方向向量．所以两条直线互相平行，可得＝≠，解得a＝±2. 答案　±2 6．如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明　以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F， ∴＝，＝， ＝，＝， ∴＝，＝， ∴∥，∥， 又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形． [能力提升] 7．(多选题)设d1与d2都是直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的方向向量，则下列关于d1与d2的叙述不正确的是(　　) A．d1＝d2 B．d1与d2同向 C．d1∥d2 D．d1与d2有相同的位置向量 解析　根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量，因此，直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的方向向量应该共线，故A，B，D错误，C正确． 答案　ABD 8.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析　取D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，设正方体的棱长为3个单位长度． 则A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)， ∵A1E＝A1D，AF＝AC， ∴E(1,0,1)，F(2,1,0)， ∴＝(1,1，－1)，＝(－3,3,0)， ＝(－3,0，－3)，＝(－3，－3,3)， 则＝－， 且·＝0，·＝0. ∴EF⊥AC，EF⊥A1D，故选B. 答案　B 9．在空间直角坐标系O­xyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为 ． 解析　由OP⊥OQ，得·＝0， 即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)×(－1)＝0， 所以cos x＝0或cos x＝. 因为x∈[0，π]，所以x＝或. 答案　或 10.如图所示，在四棱锥A­OBCD中，底面OBCD是边长为1的菱形，∠OBC＝45°，AO⊥底面 OBCD，OA＝2，M为OA的中点．求异面直线OB与MD所成角的大小． 解析　作OP⊥CD于点P，以O为坐标原点，OB，OP，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0,0)，B(1,0,0)，P，D，M(0，0,1)， 则＝(1,0,0)，＝， 所以cos〈，〉＝＝－，故异面直线OB与MD所成角的大小为60°. 答案　60° [探索创新] 11.如图所示，在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0