第1章 §1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

[基础巩固] 1．(2021·高安期末)已知空间向量a＝(－1，x,1)，b＝(3,1，y)，c＝(z,0,0)，a＋b＝c，则xyz的值为(　　) A．±2　　　　　　　　 B．－2 C．2 D.0 解析　∵空间向量a＝(－1，x,1)，b＝(3,1，y)， c＝(z,0,0)，a＋b＝c， ∴(2，x＋1,1＋y)＝(z,0,0)， ∴解得x＝－1，y＝－1，z＝2， ∴xyz＝(－1)×(－1)×2＝2.故选C. 答案　C 2．(2021·兰州期末)点A(1，，)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，过点A作平面yOz的垂线，垂足为B，则点B的坐标为(　　) A．(1,0,0) B.(0，，) C．(1,0，) D.(1，，0) 解析　空间内点A(1，，)，过点A作平面yOz的垂线，垂足为B时，点B的坐标为(0，，)．故选B. 答案　B 3．(2021·上饶期末)空间直角坐标系中，点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)的对称点的坐标是(　　) A．(－10,2,8) B.(－10,2，－8) C．(5,2，－8) D.(－10,3，－8) 解析　设A关于M的对称点为B(x，y，z)， 则解得 ∴点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)的对称点的坐标是(－10,2，－8)．故选B. 答案　B 4．(2021·昆明期末)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AD＝4，AB＝6，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则该长方体的中心M的坐标为 ． 解析　在长方体ABCD­A1B1C1D1中， AA1＝2，AD＝4，AB＝6， 则D1(0,0,2)，B(4,6,0)， ∴该长方体的中心M的坐标为M(2,3,1)． 故答案为(2,3,1)． 答案　(2,3,1) 5．(2021·诸暨期末)已知＝(1,1，－2)，＝(0,2，3)，则＝ ，||＝ . 解析　＝－＝(0,2,3)－(1,1，－2)＝(－1,1,5)， ||＝＝3. 答案　(－1,1,5)　3 6．已知a＝，b＝. (1)当∥时，求实数λ的值； (2)当⊥时，求实数λ的值． 解析　(1)λa＋b＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)， 当∥时，存在实数t使得＝t， 所以解得λ＝－. (2)当⊥时， ·＝0， 所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0， 解得λ＝. [能力提升] 7．若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　) A．cos〈a，b〉＝120° B.a⊥b C．a∥b D.|a|＝|b| 解析　∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)， ∴|a|＝，|b|＝， cos〈a，b〉＝＝＝－. 故排除A，B，C，故D正确，故选D. 答案　D 8．(多选题)设向量u＝(a，b,0)，v＝(c，d,1)，其中，a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列说法正确的是(　　) A．向量v与z轴正方向的夹角为定值(与c，d之值无关) B．u·v的最大值为 C．u与v的夹角的最大值为 D．ad－bc的最大值为1. 解析　由向量u＝(a，b,0)，v＝(c，d,1)． 其中a2＋b2＝c2＋d2＝1， 在A中，设z轴正方向的方向向量z＝(0,0，t)． 向量v与z轴正方向的夹角的余弦值 cos α＝＝＝， ∴α＝45° ∴向量v与z轴正方向的夹角为定值45° (与c，d之值无关)，故A正确． 在B中，u·v＝ac＋bd≤＋＝＝1， 当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u· v的最大值为1，故B错误． 在C中，由B可得：|u·v|≤1， ∴－1≤u·v ≤1. ∴cos〈u·v〉＝＝ ≥－＝－. ∴u与v的夹角的最大值为，故C正确． 在D中，ad－bc≤＋ ＝＝1. ∴ad－bc的最大值为1，故D正确． 答案　ACD 9．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(－4,2，m)，且a∥b，则m的值为 ． 解析　∵向量a＝(2，－1,2)，b＝(－4,2，m)，且a∥b， ∴＝＝，解得m＝－4. 答案　－4 10．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(2,2,1)，计算： (1)|2a－b|； (2)cos〈a，b〉； (3)2a－b在a上的投影的数量． 解析　(1)∵a＝(0，－1,1)，b＝(2,2,1)， ∴2a－b＝2(0，－1,1)－(2,2,1)＝(－2，－4,1) ∴|2a－b|＝＝. (2)∵a＝(0，－1,1)，b＝(2,2,1)， ∴a·b＝(0，－1,1)·(2,2,1)＝－2＋1＝－1， |a|＝，|b|＝＝＝3， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－. (3)∵(2a－b)·a＝(－2，－4,1)·(0，