第1章 §1.1.2 空间向量基本定理（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教B版

[基础巩固] 1．(多选题)已知A，B，C，D，E是空间五点，若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论正确的是(　　) A.，，不能构成空间的一个基底 B.，，不能构成空间的一个基底 C.，，不能构成空间的一个基底 D.，，能构成空间的一个基底 解析　由题意知，空间五点A，B，C，D，E共面，故A，B，C正确，D错误． 答案　ABC 2．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的(　　) A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若i与j不共线，存在两个非零常数m，n，使得k＝mi＋nj，则由共面向量定理知i，j，k共面．若i与j不共线，且k与i，j共面，则存在唯一的一对实数m，n，使k＝mi＋nj，但m，n不一定为非零常数，故选A. 答案　A 3．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　) A. B. C. D.或 解析　∵＝(a－b)＝(＋＋)－(＋－)，即与a，b共面， ∴与a，b不能构成空间基底，故选C. 答案　C 4．如图所示，在三棱锥O­ABC中，＝a，＝b，＝c，且＝3，＝，则＝(　　) A.a＋b＋c B．－a＋b＋c C．－a＋b＋c D.a＋b＋c 解析　∵＝3，＝， ∴＝－，＝(＋)， ∴＝(b＋c)－a.故选C. 答案　C 5．已知单位正方体ABCD­A1B1C1D1，点E为B1D1的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为基底． 表示： (1)＝ ； (2)＝ . 解析　(1)在△AB1D1中， 设＝a，＝b，E为B1D1中点， ∴＝(＋)＝； (2)＝＋＝＋ ＝＋＝a＋b＋c. 答案　(1)a＋b　(2)a＋b＋c 6.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解析　(1)由已知＝＋＋ 所以－＝3－－－ 即＝(－)＋(－)＝＋ ＝－－ ∴，，共面． (2)由(1)知，，共面且过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内． [能力提升] 7．(多选题)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是(　　) A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D．a＋b＋c，b，c 解析　对于A中a,2b,3c，B中a＋b，b＋c，c＋a，D中a＋b＋c，b，c，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于C，a＋2b,2b＋3c,3a－9c，满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选A，B，D. 答案　ABD 8．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A.a2 B.a2 C．a2 D.a2 解析　如图所示，＝(＋)，＝. ∴·＝(＋)·＝(·＋·) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°) ＝a2，故选A. 答案　A 9．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝ . 解析　由题意，如图所示，连接AE，则 ＝－ ＝＋－ ＝＋(－)－×(＋) ＝－＋－. 答案　－－ 10.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋ y＋z，试求实数x，y，z的值． 解析　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点， (1)－－＝－(＋) ＝－＝－＝＋＝； (2)∵E是棱DD1上的点，且＝， ∴＝＋ ＝＋ ＝(＋)＋ ＝＋＋ ＝－＋＋， ∴＝－＝－－， 又＝x＋y＋z， ∴x＝，y＝－，z＝－. [探索创新] 11.在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°.若＝a，＝b，＝c. (1)用基底{a，b，c}表示向量； (2)求向量的长度． 解析　(1)由题意可得＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)， 故＝－a＋b＋c. (2)由条件得|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3. a·b＝0，a·c＝，b·c＝3. ＝a＋b＋c， 故||＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $