3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式-2022-2023学年高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019必修第一册)

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 二次函数的零点及探究 2 知识点2 一元二次不等式的概念以及三个“二次”的关系 4 知识点3 分式不等式的解法 6 二、典型题型 7 题型1 解含参一元二次不等式 9 题型2 由一元二次不等式的解确定参数 11 三、难点题型 11 题型1 一元二次不等式根分布问题 13 题型2 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 16 题型3 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 18 题型4 一元二次不等式在某区间上有解问题 21 四、活学活用培优训练 31 一．基础知识点 知识点1 二次函数的零点及探究：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1,2＝ 有两个相等的实数根 x1,2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的零点 有两个零点x1,2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 例1 求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示． [解]　(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－. (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2. 当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝， 函数有两个零点和. 综上