3.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019必修第一册)

3.2 基本不等式 3.2 基本不等式 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 算术平均数、几何平均数与基本不等式 2 二、典型题型 2 题型1 由基本不等式比较大小 4 题型2 由基本不等式证明不等关系 5 题型3 由基本不等式求积的最大值 7 三、难点题型 7 题型1 由基本不等式求和的最小值 9 题型2 基本不等式“1”的妙用求最值 10 题型3 条件等式求最值 12 题型4 基本不等式恒成立问题 13 题型5 对勾函数求最值 14 题型6 基本不等式的应用 15 四、活学活用培优训练 26 一．基础知识点 知识点1 算术平均数、几何平均数与基本不等式 例1 给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质可直接判断. 【详解】由基本不等式可知，要使成立，则，所以，同号， 所以①③④均可以， 故选：C. 例2 （多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，若，，则，即，故C正确； 对于D，当，时，满足，但，故D不正确． 故选：ABC． 例3 （1）证明：若，，则． （2）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可， （2）根据题意利用基本不等式可得，，，再利用不等式的性质可证得结论 【详解】（1）证明：因为，， 所以，， 所以，即， 所以，得证； （2）因为都是正数， 所以（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）； 所以（当且仅当时取等号）， 即． 二．典型题型 题型1 由基本不等式比较大小 解题技巧：1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a≥