专题15 等边和全等-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题15 等边和全等 1．如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．有下列结论： ①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP，其中正确的结论有 （ ） A．①②③ B．①③④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【详解】∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°， ∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中， ∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①小题正确； ∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°（已证）， ∴∠ACQ=180°-60°×2=60°，∠ACB=∠ACQ=60°， 在△ACP与△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠ACQ=， ∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，故②小题正确； ∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD=∠CBE，∵∠CBE+∠BEC=∠BCA=60°， ∴∠CAD+∠BEC=60°，∴∠AOB=60°，故③小题正确； ∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故选A. 2．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为___________． 【答案】4． 【分析】首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可． 【详解】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． ∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE， ∴在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE． 又∵∠ADC=30°， ∴∠ADE=90°． 在Rt△ADE中，AE=5，AD=3， 于是DE= ∴CD=DE=4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠ADE=90°是解题关键． 3．如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为____． 【答案】5 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=10， ∴DE=5． 故答案为：5． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 4．如图，D为等边△ABC中边BC的中点，在边DA的延长线上取一点E，以CE为边、在CE的左下方作等边△CEF，连结AF．若AB＝4，AF＝，则CF的值为_____． 【答案】. 【分析】连接BF，由等边三角形的性质得出AB=AC=BC=4，CE=CF，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ECF=60°，得出∠BCF=∠ACE，证明△BCF≌△ACE（SAS），得出∠CBF=∠CAE，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=30°，由直角三角形的性质得出CD=AC=2，AD=CD=2，求出∠CAE=∠CBF=150°，得出∠ABF=90°，由勾股定理得出BF=，得出DE=AD+AE=，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接BF，如图所示： ∵△ABC和△CEF是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4，CE＝CF，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ECF＝60°， ∴∠BCF＝∠ACE， 在△BCF和△ACE中，， ∴△BCF≌△ACE（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE， ∵D为等边△ABC中边BC的中点， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°， ∴CD＝