专题14 等腰和全等-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题14 等腰和全等 1．如图，，，且BC＝3cm，AB＝1cm，CD＝5cm，点P以每秒1cm的速度从点B开始沿射线运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒．点Q的速度为x． (1)P在线段BC上时， cm， cm．（用含t的代数式表示） (2)如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得△ABP与△PCQ全等？此时，点Q的速度x是多少？（写出求解过程） (3)如图②，是否存在点P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)t＝2，x＝1或t＝1.5，x＝或，； (3)存在，，，； 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可． （2）分三种情形：①△ABP≌△QCP，②△ABP≌△PCQ，③点P在点C右侧时，有△ABP≌△PCQ，分三种情形求解即可． （3）分三种情形：①AD=DP．②AD=AP．③PA=PD，分别构建方程即可解决问题． （1） 解：根据题意， ∵点P以每秒1cm的速度从点B开始沿射线运动，设运动时间为t秒． ∴；； 故答案为：； ； （2） 解：①当点P是BC的中点时，即BP=PC=1.5cm，AB=CQ=1cm时， ∵∠ABP=∠PCQ=90°， ∴△ABP≌△QCP（SAS）， ∴s， ∴点Q的速度为：cm/s． ②当点P在点C的左侧，AB=CP=1cm，CQ=BP=2cm，则△ABP≌△PCQ（SAS）， ∴s，cm/s． ③当点P在点C的右侧，AB＝PC=1；BP＝CQ=3+1=4，则△ABP≌△PCQ， ∴s，cm/s． 综上所述，当点P与点Q经过秒时，使得△ABP与△PCQ全等，此时cm/s； 当点P与点Q经过秒时，使得△ABP与△PCQ全等，此时cm/s； 当点P与点Q经过秒时，使得△ABP与△PCQ全等，此时cm/s； （3） 解：如图②中，作AH⊥CD于H． 在Rt△ADH中，∵AH=BC=3，DH=CD-CH=CD-AB=4， ∴AD=， ∵PA=，DP=， ①当AD=PD时， ，解得t=3； ②当AD=AP时， ，解得； ③当PA=PD时， ， 解得； 综上所述，满足条件的t的值为：3或或． 【点睛】本题考查三角形综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图，中，，，射线与射线关于直线对称．E是上的一点，连接交于点D． (1)若，求证：是等腰三角形； (2)若，连接，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的度数为或 【分析】（1）证明∠ACD＝∠CAD＝30°，可得结论； （2）证明△AEB≌△ADC（SAS），推出∠ABE＝∠ACD，求出∠ACD即可解决问题； （3）过点B分别作AM和AC的垂线，垂足分别为H，G，证明△AHB≌△AGB（AAS），推出BH＝BG，AH＝AG，分两种情形：①当点E在M，H之间时，如图中的点E1，②当E值A，H之间时，如图中的E2，分别求解即可． (1) 证明：∵， ∴． ∵射线与射线关于直线对称 ∴， ∴，， ∴． ∴是等腰三角形． (2) 解：在和中 ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． (3) 解：过B点分别作和的垂线，垂足分别为点H，G， ∵，，， ∴． ∴，． ①当点E在H，M之间时，如图中的点． ∵，， ∴． ∴，． 又∵， ∴． ②当点E在A，H之间时，如图中的点． ∵， ∴． ∴． ． 又∵， ∴． ∴． 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE． （1）连接AF、OE，求证AF＝OE； （2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度的会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度． 【答案】（1）见解析；（2）不变，长度为 【分析】（1）由△OBF、△ABE都是等腰直角三角形，可得到△ABF与△EBO全等的条件，证明△ABF≌△EBO，即可得到AF＝OE； （2）作ED⊥OM于点D，先证明△EBD≌△BAO，得DE＝OB，DB＝OA，再证明△DPE≌△BPF，得PB＝PDDB． 【详解】（1）证明：如图1，连接AF、OE， ∵△OBF、△ABE都是等腰直角三角形， ∴BF＝BO，BA＝BE，∠OBF＝∠ABE＝90°， ∴∠ABF＝∠EBO＝90°+∠ABO， 在△ABF和△EBO中， ， ∴