专题13 等腰旋转模型-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题13 等腰旋转模型 1．已知：如图1，AOB和COD都是等边三角形． （1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝60°； （2）如图2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为　 ，∠APB的大小为　 【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）AC＝BD，α 【分析】（1）①根据△AOB和△COD都是等边三角形，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD； ②由△AOC≌△BOD，可得∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可； （2）根据∠AOB=∠COD=α，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可． 【详解】证明：（1）①∵△AOB和△COD都是等边三角形， ∴OA=OB ，OC=OD，∠AOB＝∠COD＝60°， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO， ②设AC与BO交于E， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠CAO＝∠DBO， ∵∠AEO=∠BEP， ∴∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB， ∴∠APB＝∠AOB＝60°． （2）AC=BD，∠APB=α， 理由如下：∵∠AOB=∠COD=α， ∴∠AOC=∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD， ∴AC=BD，∠CAO=∠DBO， 设AC与BO交于E， ∵∠AEO=∠BEP， ∴∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB， ∴∠APB=∠AOB=α， 故答案为AC=BD，α． 【点睛】本题考查三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键． 2．如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当，，三点共线时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①的度数是定值，为60°；②或8． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，再由 ，可得到，，从而得到 ，即可求证； （2）根据题意，可证得，从而得到，再根据三角形的内角和等于180°，即可求解； （3）分两种情况讨论：当，，三点共线，且在BC上方时，当，，三点共线，且在BC下方时，即可求解． 【详解】证明：（1）是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴，， ， ∴是等边三角形； （2）解：①的度数是定值，理由如下： 是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE， ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴， 即的度数是定值，为60°； ②当，，三点共线，且在BC上方时，过点作， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ； 当，，三点共线，且在BC下方时. ， 综上所述，或8． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：． 【答案】见解析 【分析】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明． 【详解】解：，理由如下： 如图，将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合， 即△ACF′≌△BCF， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAF′＝∠B＝45°， ∴∠EAF′＝90°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ACE＋∠BCF＝45°， ∵∠ACF′＝∠BCF， ∴∠ECF′＝45°， 在△ECF和△ECF′中 ∴△ECF≌△ECF′（SAS）， ∴EF＝EF′， 在Rt△AEF′中，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、图形的旋转、勾股定理．解题的关键是综合运用相关知识解题． 4．在等腰直角△ABC中，AB＝ AC，BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D． （1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形； ①求证：∠