专题16 HL证全等培优-【微专题】2022-2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题16 HL证全等培优 1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为F、G．若BG＝4，AC＝5，则△ABC的周长是（       ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL），Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出AG=CF，BG=BF．则可求出答案． 【详解】解：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA=DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG=DF，DA=DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）． ∴AG=CF， ∵DG=DF，BD=BD， ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）． ∴BG=BF．又∵AG=CF， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC=2×4+5=13， 故选B． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在中，，平分，，点在上，且，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线的性质得出DE=DC，再由直角三角形全等的判定定理分别证明≌，≌，由三角形全等的性质分别得出AE、BE的长度，即可得出AB的长度． 【详解】，， AC=4， 平分，，， DC=CE， 在Rt与Rt中， ， ≌， AE=AC=4， 在Rt与Rt中， ， ≌， BE=CF=1， AB=AE+BE=4+1=5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及直角三角形全等的判定与性质，熟记直角三角形全等的判定定理是解题关键． 3．如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为56和32,则△EDF的面积为（ ） A．10 B．11 C．12 D．不能确定 【答案】C 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的性质定理可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可． 【详解】如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中, ∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)， ∴S△EDF=S△GDH，设面积为S， 在Rt△ADF和Rt△ADH中， Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴S△ADF=S△ADH， 即32+S=56−S， 解得S=12. 故选C. 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，以及用HL判定直角三角形全等，由全等三角形面积相等得到等量关系是解决本题的关键. 4．如图，已知正方形的边长为2，点E是正方形的边上的一点，点A关于的对称点为F，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】延长EF交CD于M，连接BM，根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠BCD=90°，由折叠的性质得到∠BFE=∠BFM=90°，通过Rt△BFM≌Rt△BCM，于是得到MF=MC．由等腰三角形的性质得到∠MFC=∠MCF，由余角的性质得到∠MFD=∠MDF，于是求得MF=MD，得MF=MD=MC=1，AE=EF=x，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°， ∵点A关于直线BE的对称点为F， ∴∠BFE=∠BFM=90°，AB=BF=BC 在Rt△BFM与Rt△BCM中， ， ∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL）， ∴MF=MC， ∴∠MFC=∠MCF， ∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°， ∴∠MFD=∠MDF， ∴MD=MF=MC， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴MF=MC=DM=1， 设AE=EF=x， ∵DE2+DM2=EM2， 即（2-x）2+12=（x+1）2， 解得：x=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换-折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，沿AE所在的直线折叠△ADE，落在矩形内部得到△AFE，延长AF交BC边于点G，若＝，则的值为_________． 【答案】 【分析】连接GE，证明，得，设，表示出，，，，的长度，再由勾股定理得的长度，即可得出比值． 【详解】如图，连接GE， ∵在矩形ABC