【单元复习】第二十一章 一元二次方程（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）-【高效培优】2022-2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）

【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版） 【单元复习】第二十一章 一元二次方程 （知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练） 温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！ 知识精讲 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： （1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x=,x=. （2）直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果b-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： （1）方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； （2）确定公式中a,b,c的值，注意符号； （3）求出b-4ac的值； （4）若b-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b-4ac. 一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； 一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△=0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＜0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根； 21.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2）因式分解法的详细步骤： 1移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 2把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 3令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x=p或（mx+n）=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x,x,则有x+x=-p,xx=q. 若一元二次方程ax+bx