第15讲 幂函数及其性质5种题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）

第15讲 幂函数及其性质5种题型 【考点分析】 考点一：幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 考点二：常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上 单调递增 在上 单调递减， 在上 单调递增 在上 单调递增 在上 单调递增 在和上 单调递减 公共点 考点三：幂函数的单调性 在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数. 【题型目录】 题型一：幂函数的概念 题型二：幂函数的三要素 题型三：幂函数的性质 题型四：幂函数的图象 题型五：幂函数的综合运用 【典型例题】 题型一 幂函数的概念 【例1】（2020·全国高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】）因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数； 是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B. 【例2】已知是幂函数，求、的值． 【答案】 【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组． 由题意得解得 即为所求． 【题型专练】 1．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 2.（2022陕西高一期末）已知函数为幂函数，则___. 【答案】 【解析】由于函数为幂函数，则，即， ，解得或，所以，， 因此，. 故答案为：. 3.（2021年广东潮州）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 【答案】见解析 【解析】　由题意得 解得或 所以m＝－3或1，n＝. 题型二：幂函数的三要素 【例1】（2021·陕西·西安市第三中学高一期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 【例2】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（       ） A．5 B．1 C．2 D．4 【答案】BC 【分析】由幂函数的系数为，列方程求出实数的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案． 【详解】令，解得或， 当时，图象不过原点，成立； 当时，图象不过原点，成立； 故选：BC 【题型专练】 1.（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））若函数是幂函数，满足，则_________． 【答案】 【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值. 【详解】解：函数是幂函数，设， 又，所以，即，所以，得 所以，则. 故答案为：. 2.（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___． 【答案】##0.5 【分析】由幂函数所过的点求解析式，进而求的函数值. 【详解】幂函数过点， ，解得， ，故. 故答案为： 3.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【答案】A 【解析】当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，故选：A. 题型三：幂函数的性质 【例1】（2023·全国·高三专题）幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（       ） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1＝1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x（0，+∞）上为减函数即可． 【详解】∵幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1， 解得m＝2，或m＝﹣1；又x（0，+∞）时f（x）为减函数， ∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意； 当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为，满足题意； 综上，． 故选：A． 【例2】（2022·山东德州·高二期末）幂函数在区间