第14讲 函数的奇偶性十大题型归类总结-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）

第14讲 函数的奇偶性十大题型归类总结 【考点分析】 考点一：函数的奇偶性的定义 对于函数的定义域内任意一个，都满足： ① 是偶函数； ②奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 考点二：函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； ③可逆性：是偶函数； 是奇函数； ④等价性：； ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 考点三：函数奇偶性的重要结轮 ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． ②，在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ③若奇函数的定义域包括，则． ④若函数是偶函数，则． ⑤定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． ⑥若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇， 为偶函数． 考点四：函数的奇偶性的判断方法 利用奇、偶函数的定义，考查是否与、 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称； ②数量关系哪个成立； 【题型目录】 题型一：判断函数的奇偶性 题型二：抽象函数的奇偶性判断 题型三：奇偶函数的图像特征 题型四：已知函数奇偶性求参数 题型五：利用奇偶性求函数值 题型六：利用奇偶性求函数解析式 题型七：给出函数性质，写函数解析式 题型八：奇函数+常数模型（） 题型九：中值定理（求函数最大值最小值和问题） 题型十：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题 【典型例题】 题型一：判断函数的奇偶性 【例1】判断下列各函数是否具有奇偶性 （1） （2） （3） （4） （5） （6）； （7） （8） 【答案】见解析 【解析】（1）定义域： 因为对于任意且 所以为奇函数 （2）定义域： 因为对于任意且 所以为偶函数 （3）定义域：，即，所以为非奇非偶函数 （4）定义域： 所以为非奇非偶函数 （5）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数 （6） 定义域：，即，所以 所以，所以，所以函数为奇函数 （7）定义域：，解得，所以，所以既是奇函数又为偶函数 （8）定义域：，即，所以为非奇非偶函数 【例2】判断函数的奇偶性。 【答案】奇函数 【解析】法一：当时，，所以 当时， 当时，，所以 所以为奇函数 法二：画出函数图象即可知：函数图象关于原点对称，所以为奇函数 【例3】（1） （2） （3） （4） 【答案】（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）奇函数 【解析】（1） ，所以为偶函数 （2） ，所以为奇函数 （3） ，所以为奇函数 （4） ，所以为奇函数 【例4】设是上的任意函数，下列叙述正确的是（　　） 是奇函数 是奇函数 是偶函数 是偶函数 【答案】C 【解析】对A 设，则，所以为偶函数 对B设，则，所以为非奇非偶函数 对C 设，则，所以为偶函数 对D 设，则，所以为奇函数 【例5】（2022江苏高一单元测试）关于函数，描述不正确的是（       ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上是增函数 D．的图像关于原点对称 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，值域，函数的单调性，对称性， 对选项ABCD分别进行判断即可得． 【详解】解：由题设有，解得或， 故函数的定义域为，故A正确． 当时，，此时， 所以为上的奇函数，故其图象关于原点对称，故D正确． ， 当时， 当时，， 故的值域为，故B正确． 由可得不是定义域上的增函数，故C错误． 故选：C． 【题型专练】 1.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】C 【解析】若为奇函数，则为偶函数，若为偶函数，则仍为偶函数 奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数偶函数=偶函数 所以选C 2.（多选题）下列对函数奇偶性判断正确的是（ ） A. 奇函数 B. 是奇函数 C. 既不是奇函