第3章 不等式（重点突破）-2022-2023学年高一数学上学期章节复习敲重点（苏教版2019必修第一册）

第3章 不等式 重点一、不等式性质 【自主梳理】 研究比较大小的依据： 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a＞b。A B x 而a－b表示a减去b所得的差，由于a＞b，则差是一个正数，即a－b＞0。 命题：“若a＞b，则a－b＞0”成立；逆命题“若a－b＞0，则a＞b”也正确。 类似地：若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a＞b”“a－b＞0” (2)“a＝b”“a－b＝0” (3)“a＜b”“a－b＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。 【自我检测】 1：若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性) 2：若a＞b，则a＋c＞b＋c (不等式的加法性质) 探究点一　同向不等式相加性质 [例1] 求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d 反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。) 变式迁移1：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) 探究点二　不等式的乘法性质 [例2]：若a＞b，c＞0，则ac＞bc 变式迁移2：若a＞b，c＜0，则ac＜bc 探究点三　比较大小 [例3]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。 变式迁移3解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。 探究点三　比较大小（一） [例4]：若a、b、c、d均为正数，且＜，求证：＜＜ 变式迁移4 若x＞0，试比较＋与＋的大小。 重点二、基本不等式 【自主梳理】 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：__________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥______ (a，b∈R)． (2)＋≥____(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)2____. 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________________. 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最____值是______(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最____值是________(简记：和定积最大)． 【自我检测】 1．“a>b>0”是“ab<”的______________条件． 2．已知函数f(x)＝x，a、b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系是______________． 3．下列函数中，最小值为4的函数是________(填上正确的序号)． ①y＝x＋； ②y＝sin x＋(0<x<π)； ③y＝ex＋4e－x； ④y＝log3x＋logx81. 4．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)最大值为______________． 5．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________． 探究点一　利用基本不等式求最值 例1　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值； (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 变式迁移1　(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________． (3)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________． 探究点二　基本不等式在证明不等式中的应用 例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. 变式迁移2　已知x>0，y>0，z>0. 求证：≥8. 探究点三　基本不等式的实际应用 例3　某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)． (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 变式迁移3　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，