第20讲 导数的综合应用-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第20讲 导数的综合应用 【基础知识网络图】 ( 导数的应用 极值与最值问题 函数的单调性问题 ) ( 切线斜率、方程 ) 【基础知识全通关】 1、求切线方程的一般方法 （1）求出函数在处的导数； （2）利用直线的点斜式得切线方程。 求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 2、判定函数的单调性 （1）函数的单调性与其导数的关系 设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。 ①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。 ②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。 ③要关注导函数图象与原函数图象间关系。 （2）利用导数判断函数单调性的基本步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数； ③在定义域内解不等式； ④确定f(x)的单调区间。 函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。 3、函数的极值 （1）极值的概念 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， ①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)<f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)； ②如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。 极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。 ①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。 ②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 ③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。 ④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 ⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。 ⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。 （2）求极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法) 函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。 4、函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。 （1）最值与极值的区别与联系： ①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念； ②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个； ③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 ④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。 （2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 ②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值 ③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，