第19讲 利用导数研究函数的极值和最值-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第19讲 利用导数研究函数的极值和最值 【基础知识网络图】 ( 函数极值点条件 ) ( 函数的极值 ) ( 求函数极值 ) ( 函数的极值和最值 ) ( 函数在闭区间上的最大值和最小值 ) 【基础知识全通关】 1.函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数在点及其附近有定义， （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作； （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 2、求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 3、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如. 注意： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数； （2）求方程在内的根； （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值. 【考点研习一点通】 考点01利用倒数解决函数的极值等问题 1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程； 【解析】 因为处取得极值 所以 所以。 又 所以在点处的切线方程 即. 【变式1-1】设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 【解析】（1）由知． 令，得．于是当变化时，的变化情况如下表： － 0 + 单调递减 单调递增 故的单调递减区间是，单调递增区间是， 处取得极小值，极小值为 (2)证明：设， 于是， 由(1)知当时，最小值为 于是对任意，都有，所以在R内单调递增． 于是当时，对任意，都有． 而，从而对任意． 即，故． 【变式1-3】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　） A．1个 　　　　 B．2个 　　　C．3个 　　　　 D．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。 考点02利用导数解决函数的最值问题 2、已知函数，． (Ⅰ)若在处取得极值，求的值； (Ⅱ)求在区间上的最小值； (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立． 【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得． 因为函数在处取得极值，所以，即，解得． 经检验，满足题意，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为． 当时，有，在区间上单调递增，最小值为； 当，由得，且． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在区间上单调递增，最小值为； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数在取得最小值． 综上当时，在区间上的最小值为； 当时，在区间上的最小值为． （Ⅲ）由得． 当时，，， 欲证，只需证， 即证，即． 设， 则． 当时，，所以在区间上单调递增． 所以当时，，即， 故． 所以当时，恒成立． 【变式2-1】已知函数(),. (1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值; (2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. 【解析】(1)由为公共切点可得:, 则,, ,则,, ① 又,, ,即, 代入①式可得:. (2), 设 则,令, 解得:,; ,, 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ①若,即时,最大值为; ②若,即时,最大值为 ③若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 【变式2-2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。 【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b 由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2 f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 函数f（x）的单调区间如下表： x （－，－） － （－，1） 1 （1，＋） f（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 极大值 极小值 所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1） （2）