第08讲 二次函数的应用-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第08讲 二次函数的应用 ( 目标导航 ) 课程标准 1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，提高解决问题的能力。 2.通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。 ( 知识精讲 ) 知识点01 列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 知识点02 建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 注意： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题. 知识点03 利用二次函数求图形面积的最值问题 一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。 求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。 知识点04 利用二次函数求最大利润问题 （1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。 ①每件的利润=销售单价-成本单价； ②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。 （2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤： ①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入； ②用含自变量的代数式表示销售商品的成本； ③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式； ④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。 知识点05 利用二次函数解决抛物线型建筑物问题 这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。 1．一般解题思路 (1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。 (2)根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。 (3)由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。 2．卡车过拱桥(隧道)问题 在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过： (1)固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值比较大小）； (2)固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值比较大小） ( 能力拓展 ) 考法01 求几何图形面积的最值 【典例1】如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（　　） A．8 B．15 C．16 D．64 【即学即练】有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（   ） A． B． C． D． 【典例2】用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，使矩形场地的一边靠墙，墙壁足够长，则围成的矩形场地的最大面积为（　　　） A．400 m2 B．450 m2 C．500 m2 D．900 m2 【即学即练】已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（　　） A．6 B．