第2章 4 第2课时 抛物线形实际问题-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

第二章 二次函数☑ 第2课时 抛物线形实际问题 (教材P47习题2.8练习) 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 顶离水面2m时，水面宽6m,水面下降 提升点：利用二次函数抛物线解决实际问题 m,水面宽8m. 类型1：轨迹型 5.(随州中考)如今我国的大棚种植技术已十分 1.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分 成熟.小明家的菜地上有一个长为16米的蔬 析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离 菜大棚，其横截面顶部为抛物线形，大棚的一 端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端 x(m)之间的关系式为y=12x-4)+3, 固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横 由此可知铅球推出的距离是 m. 截面建立如图所示的平面直角坐标系.已知 ty---0 大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体 A的水平距离x(米)之间的关系满足y= 2.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(m)关 名女2+bx十c,现测得A,B两墙体之间的 于滑行时间t(s)的函数表达式是y=60t 水平距离为6米。 .在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离 (1)直接写出b,c的值， (2)求大棚的最高处到地面的距离 是 m. (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建 3.[学科融合]（连云港中考）如图，一位篮球运 动员投篮，球沿抛物线y=一0.2x2十x十 高为7米的竹竿支架若干，已知大棚内可以 2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的 搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹 中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中 竿，则共需要准备多少根竹竿？ 心的水平距离OH是 m. 类型2：结构型 4.[一题多辨](1)（绵阳中考）如图①是抛物线 形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,若 水面下降2m,则水面宽度增加 m. m 6 m- ① ② (2)(广安中考)如图②是抛物线形拱桥，当拱 做神龙题得好成绩(53 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 类型3：悬绳型 即培优创新>>>>>>难度等级综合题 6.如图，小明的父亲在相距2米的两根柱子间 8.(河南中考)小林同学不仅是一名羽毛球运动 拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千 爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛 拴绳子的地方距地面的高都是2.5米，绳子 进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较 如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴 近的那根柱子0.5米时，头部刚好接触到绳 上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m, 子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？ CA=2m,击球点P在y轴上.若选择扣球， 羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近 似满足一次函数关系y=一0.4x十2.8；若选 米 择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离 x(m)近似满足二次函数关系y=a(x一1)2十3.2. (1)求点P的坐标和a的值 (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使 球过网.要使球的落地点到C点的距离更近， 请通过计算判断应选择哪种击球方式， 类型4：水柱型 y=ax-1)2+3.2 V=-0.4x+2.8 7.(河南中考)小红看到一处喷水景观，喷出的 水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷 0 水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水 平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m 建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物 线的表达式为y=a(x一h)十k,其中x(m) 是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距 地面的高度 (1)求抛物线的表达式 (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平 距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走 动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸 爸的水平距离. 54 做神龙题得好成绩12.解：(1)，抛物线y=ax2十bx(a>0)经过原点O和点 十n,一2X2,得m=一4。（2)”点A与抛物线 77 /4a+2b=0 4 A(2,0),B(-1,2),. lab2.a=3,6三一3 的顶点B的距离为4，点A的坐标为(2,5)，∴点B的坐 抛物线的表达式为y=号-台=号（红-1）-号 2 2 标为(2,1)或(2,90，.4n-（二)-1或9，解得m=5或 4 “抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一子）： 13,∴.抛物线y1的表达式为y1=x2-4x+5或y1=x2 -4x+13. (2)该抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,.当x<1 以 时，y随x的增大而减小，而x1<x2<1,故y1>y2· 12解，①号5 (2)设二次函数的表达式为Sn=an2+ (3):点B(-1,2)在该抛物线上，点C与点B关于抛物 号-a+6+c a=1 线的对称轴x=1对称，.C(3,2).设直线AC的函数表 2k十m=0 k=2 bm十c,则5=4a十2b十c,解得b= 2这个二次函 达式为y=kx十m, 3k+m=2'解 m=一4心直线 21 2 =9a+3b+c (c=0 AC的函数表达式为y=2x一4. 第2课时由三点确定二次函数的表达式 数的表达式为S,=心+ 1.D2.A 培优专题6：求二次函数表达式的常见类型 3.解：(1)由图象知A(-1,0),B(0,-3),C(4,5),代入y= 1.A2.D a-b+c=0 3.y=x2-2x-34.y=x2-x+1 ax2十bx十c(a≠0)，得c=一3 ,解得a=1,b= 5.解：(1)由已知条件，得C(0,4),B(4,4),把B,C两点的坐 16a+4b+c=5 一2，c=一3，.二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 标代人y=一号x2+a+c,得厂8+6+c=4 \c=4 解得 (2)y=x2-2x-3=(x一1)2一4，所以抛物线的顶点坐标 b=2 1 1 为(1，一4)，对称轴为直线x=1. c=4y=-2x2+2x+4. (2):y= 2x2+2a+ 4.D 5.y=-x2+x+2 4 乞(x一2)2十6，顶点D(2,6),Sg助形c=SAAc 6.解：，∠AOC=∠ACB=90°，.∠CAO+∠AC0=90°， +5Am=2X4X4+号×4X(6-40=12 1 ∠CAO+∠ABC=90°.∴.∠ACO=∠ABC.又.∠AOC= ∠08=90，△A0△C80.8器-82.0c2 6.解：(1)过点A作AD⊥x轴，垂足为点D,如图.，斜坡的 坡比为1：2，∴.AD:OD=1:2.AD=1.5,.OD=3, OB·OA.OA=1,O℃=2，.OB=4..B(4,0),C(0, ∴A(3,1.5).设二次函数的表达式为y=ax2+bx,将 2).设抛物线的表达式为y=a(x十1)(x一4).将C(0,2) 9a+3b=1.5 代人，得-4如=2，解得a=-,∴过A,B,C三点的二次 函数的表达式为y=2c+1Dc0=名+8+2 7.B 2三次函数的表达式为y=-7x2+2G b=2 8.y=-3x2+3 822、1 9.y= 4x+2 (2),y=一 x2+2x=-合（x-2)2+2,-合<0当 1 x=2时，y取最大值2，∴小球到达的最高点的坐标为(2,2). 10.解：把x=2代入y=x+1,得y=2+1=3,∴.点B(2,3). 当y=0时，0=x+1,解得x=-1,∴.点A(-1,0).由于 抛物线的顶点在y轴上，因此对称轴为y轴，设抛物线的 表达式为y=ax2+c.把A(-1,0),B(2,3)代入，得 a十c=3解得a=1,c=-1,抛物线的表达式为y (a十c=0 D x2-1. 11.解：(1)，点A的纵坐标为5，点A在直线y2=2x十1上， 4二次函数的应用 .5=2x十1，得x=2,点A的坐标为(2,5).抛物线 第1课时最大面积是多少 y1的对称轴与直线y2的交点为A,抛物线y1=x2十mx 1.10m,10m ·16·同行学案学练测 2.解：1)下部分矩形的长=10-)14红=5一7x,由x>0,5 2 大棚的最高处到地面的距离为行米。(3)令y-,则 -7z>0,得0<<号，y=(5-7z+2x)2x=-10x2 +10x(0<x< .(2):y=-10x2+10x=-10(x <6,“大棚内可以搭建支架的土地的宽为6一号 -)广+号当z=号时y取到最大位最大值为 号（米）.又：大桶的长为16米，∴需要搭建支架部分的士 答：x取号时，透光面积最大，最大透光面积是号m。 地面积为16×号-8（平方米），故共需要准备88×4- 3.2s 352(根)竹竿. 4.解：设P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的 6.解：以左边柱子与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左 面积为Smm2,则有S=SAx-Sm=号×12X24-号 1 边柱子为y轴建立平面直角坐标系，如图.由题意，得 A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1).设函数表达式为y=ax2 ×4t×(12-2t)=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.4> +bz十c,把A,B,C三点的坐标分别代入，得 0,.当t=3时，S取得最小值，即移动3s时，四边形 c=2.5 a=2 APQC的面积最小. 4a十2b+c=2.5,獬得b=-4,∴.y=2x2-4x+2.5 5.C6.D7.243 0.25a+0.5b+c=1 (c=2.5 8,解：D:E,F为AB,AD中点，EF=合BD,同理，GH =2(x-1)2+0.5.2>0,.当x=1时，ym血m=0.5,∴.绳 子的最低点距地面的距离为0.5米 =2BD.:EF+BD+GH+AC=80,∴BD=40- 2x. 四边形ABCD是菱形，∴y=(40-号x)z=-子x 米 +20z.(2AC≤号BD,∴≤号(40-7）x≤ 3225<x<32y=-子r2+20r=-6x-40r+ 一2米 7.解：(1)由题意，知抛物线顶点为(5,3.2)，设抛物线的表达 40.又：-<0，当x=32,即AC为32cm时面积最 式为y=a(x-5)2+3.2,将(0,0.7)代入，得0.7=25a+ 3.2,解得a=- 0y=b-5+82=02+ 1 大，此时最大面积为-子×(32-40)2+400=384(cm2). 9.解：(1)，(21-12)÷3=3(m),.I,Ⅱ两块矩形的面积为 x+0“抛物线的表达式为y=一+x+ 7 12×3=36(m2).设水池的长为am,则水池的面积为a× 1=a(m2),.36-a=32,解得a=4,∴.DG=4m,∴.CG= (2)当y=16时，0+x十0=16，解得x=1或 1 CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8m,DG的长为 x=9,.她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9一3= 4m.(2)设BC的长为xm,则CD长度为(21-3x)m, 6(m). .总种植面积为(21-3x)x=-3(x2-7x)= 8.解：(1)在y=-0.4x十2.8中，令x=0得y=2.8,∴.点P -3(-号）+14-30,0<21-3x≤12当x= 的坐标为(0,2.8)，把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2, 得a十3.2=2.8，解得a=-0.4,.a的值是-0.4. 名时，总种植面积有最大值为14m,即BC应设计为 (2),OA=3m,CA=2m,.OC=5m,.C(5,0).在y= m总种植面积最大，此时最大面积为m配。 7 -0.4x十2.8中，令y=0,得x=7;在y=-0.4(x-1)2+ 3.2中，令y=0,得x=-2V2十1（舍去）或x=2W2+1. 第2课时抛物线形实际问题 ,|7-5>2√2-4|，.选择吊球方式，球的落地点到C 1.102.243.4 点的距离更近. 44反-02号 第3课时利润问题 1.B2.B 5解：16=名c=1.(②)曲y=-日+名+1= 1 3.解：(1)y=-2x+200(2)W=-2x2+280x-8000 (红-召)”+爱，可知当x=名时y有最大值器故 (3),W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800(40 ≤x≤80)，.当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当