4.3.1&4.3.2 第1课时 等比数列的概念及通项公式 (Word教参)-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案 苏教版（2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 4．3.2　等比数列的通项公式 学习目标 知识导图 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．(数学抽象) 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(逻辑推理、数学运算) 3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象) 第一课时　等比数列的概念及通项公式 [问题导学] 　阅读课本143～148页，思考以下问题： 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？ 2．等比数列的通项公式是什么？ 3．等比中项的定义是什么？　　 [知识梳理] 知识点一　等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 微思考 1．若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列． 2．等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其他项是否可以为零？ 提示：不能． 3．常数列一定是等比数列吗？ 提示：不一定，如0,0,0，… 微练习 1．下列数列为等比数列的是(　　) A．2,22,3×22，… B.，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，… 解析：A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C项可为0，不符合定义． 答案：B 知识点二　等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式an＝a1qn－1. 微思考 4．等比数列的通项公式具有什么函数性质？ 提示：等比数列的通项公式为指数型函数． 微练习 2．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：∵＝·n－1， ∴＝n－1，即3＝n－1， ∴n－1＝3，∴n＝4. 答案：B 3．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________. 解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729. 答案：－729 知识点三　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 微思考 5．任何两个非零实数都有等比中项吗？ 提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项． 题型一　等比数列的通项公式 [例1]　(1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　) A．3　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 (2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. [解析]　(1)因为an＝a1qn－1，所以an＝×n－1＝，即n＝5，解得n＝5. (2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，由a＝a10＝a1q9>0，得a1>0，又因为数列{an}递增，所以q＝2.由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，所以a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n. [答案]　(1)C　(2)2n 求等比数列通项公式的常用方法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [跟踪训练] 在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解析：(1)因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. (2)法一：因为 由得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32×n－1＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. 题型二　等比中项 [例2]　已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 证明　因为b是a，c的等比中项. 所以b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又因为(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2 所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)， 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 等比中项 (1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项，an－1，an，