第3章 突破真题 链接高考(Word教参)-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案 人教A版（2019）

授课提示：对应学生用书第129页 　椭圆 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13　　　　　　　　　 B．12 C．9 D．6 解析：∵M在椭圆C：＋＝1上，且a＝3， ∴|MF1|＋|MF2|＝6， ∵≥ ， ∴|MF1|·|MF2| ≤2＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立． 答案：C 2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A. B. C. D．2 解析：法一：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－2. 当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝. 法二：因为点P在椭圆＋y2＝1上， 所以可设点P(cos θ，sin θ)． 易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝. 答案：A 3．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　) A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线 解析：对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确． 对于B，当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为 的圆，故B错误． 对于C，当m＞0，n＜0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x；当m＜0，n＞0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝ ，b＝ ，渐近线方程为y＝± x，故C正确． 对于D，当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± ，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．综上可知，正确的选项为ACD. 答案：ACD 4．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 解析：如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆方程＋＝1可得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝8,2c＝|F1F2|＝4. 由P，Q关于原点对称得|OP|＝|OQ|，又|OF1|＝|OF2|，故四边形PF1QF2为平行四边形． 依据|F1F2|＝|PQ|，得到四边形PF1QF2为矩形，故PF1⊥PF2. 在Rt△F1PF2中，∠F2PF1＝90°，则m2＋n2＝(4)2＝48， 由(m＋n)2＝64得m2＋n2＋2mn＝48＋2mn＝64，解得mn＝8，所以四边形PF1QF2的面积为8. 答案：8 5．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 解析：(1)由题意，椭圆半焦距c＝且e＝＝，所以a＝， 又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1； (2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)， 当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)即kx－y－k＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1， 联立可得4x2－6x＋3＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以＝·＝， 所以必要性成立； 充分性：设直线MN：y＝kx＋b，(kb<0)即kx－y＋b＝0， 由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以b2＝k2＋1， 联立可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1·x2＝， 所以＝·＝ ＝·＝， 化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1， 所以或所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋， 所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. 6．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为