第1章 1.2 第1课时 空间向量基本定理(课件PPT)-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案 人教A版（2019）

1．2　空间向量基本定理 第一课时　空间向量基本定理 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 [学习目标]　1.了解空间向量基本定理及其意义．　2.掌握空间向量的分解． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 问题1　类比平面向量基本定理，可推广得到空间向量基本定理是什么？ 问题2　空间基底的构成条件是什么？单位正交基底的构成条件是什么？ 问题3　类比平面向量的分解，如何分解空间向量？　　　 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 C 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 A．a＋b＋c B．－a＋b＋c C．a－b＋c D．－a－b＋c B 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 0 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 空间向量基本定理 1．定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在_________有序实数组(x，y，z)，使得p＝ . 唯一的 xa＋yb＋zc 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 2．基底与基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把 叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 ． 空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底． {a，b，c} 基向量 不共面 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 [例1]　已知下列说法： ①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面； ②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线； 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 ④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底； ⑤若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底． 其中正确说法的个数是(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 D 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 [解析]　①根据空间基底的定义，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面，故正确． ②由空间基底的定义，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，故正确． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数x，y，使得a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则a，b，c共面，由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能构成空间的一个基底，故正确． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 1.若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成基底的是(　　) A．b－c，b＋c，a B．b＋c，b－2c,3c C．b＋c,2a，a＋b＋c D．b＋c，b－c,2b A 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 给定基底分解空间向量 1．空间向量的分解 由空间向量基本定理可知，若给定空间的一个基底{a，b，c}，对空间中任意的向量p，存在唯一确定的实数组(x，y，z)，使p＝ ，这叫做空间向量的分解． xa＋yb＋zc 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 2．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量