第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算(课件PPT)-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案 人教A版（2019）

1．1.2　空间向量的数量积运算 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 [学习目标]　1.了解空间向量夹角的概念．　2.掌握空间向量数量积的定义、性质和运算律．　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　4.应用空间向量数量积解决简单空间几何体中的垂直、夹角和距离问题． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 问题1　空间向量的夹角的定义，数量积的定义、性质和运算律与平面向量有区别吗？ 问题2　在空间，向量a向向量b、直线l、平面α的投影分别有什么意义？ 问题3　类比平面向量数量积，用空间向量数量积可解决哪几类几何问题？　　　 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 [预习自测] 1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 C 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 解析：由正方体，得a，b，c两两垂直， ∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. 0 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 120° 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 空间向量的夹角 非零向量 ∠AOB 〈a，b〉 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 2．范围 对非零向量a，b 通常规定0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 特别地，如图， 当 时，向量a，b同向共线； 当 时，向量a，b反向共线； 〈a，b〉＝0 〈a，b〉＝π 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 C 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 1.由定义知，只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π. 2．对空间任意两个非零向量a，b有： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉；(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 0° 90° 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 1．定义 已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作_____. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 特别地，零向量与任意向量的数量积为 . 空间向量的数量积 |a||b|cos〈a，b〉 0 a·b 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 a·b＝0 |a|2 ≤ 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 垂线 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 4．数量积的运算律 (λa)·b＝λ ，λ∈R； a·b＝ (交换律)； (a＋b)·c＝ (分配律)． 注意：(1)两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． (a·b) b·a a·c＋b·c 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 [例2]　已知三棱锥O­ABC的各个侧面都是等边三角形，且边长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点．试求： 分析：求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 空间向量数量积运算的方法 (1)利用定义，直接利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． (3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算． 返回导航 下页 上页 人A数学选择性必修1 2.已知空间向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·(2a－3b)＝________. 解析：a·(2a－3b)＝2a2－3a·b＝2×1－3×1×2×cos 120°＝5. 5 返回导航 下页 上页 人A