第2章 常用逻辑用语 章末小结-2022-2023学年高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019必修第一册)

第2章 常用逻辑用语 章末小结 第2章《常用逻辑用语》章末小结 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 充分条件与必要条件的判断 3 知识点2 充分、必要、充要条件的应用 6 知识点3 全称量词命题与存在量词命题 10 二、活学活用培优训练 42 一．基础知识点 知识点1 充分条件与必要条件的判断：充分条件、必要条件是高考对逻辑部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据定义即可判断．有些题目与不等式集合等内容结合可借助数轴转化为集合间的关系解决．采用数形结合的方法，可使问题直观化、形象化． 例1 设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2 “a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件． 【解答】 例1 A　例2 充要　[例1 当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p⇒q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp. 例2当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，关于y 轴对称；二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的对称轴为x＝－，其关于y 轴对称，则－＝0，解得a＝0. 综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的充要条件．] 知识点2 充分、必要、充要条件的应用：充分、必要及充要条件的应用主要体现在以下两类．一类是已知两个命题的关系求参数的取值范围，另一类是与充要条件相关的证明题．这部分内容也是考查的重点，常用不等式集合、方程交汇命题．对于第一类问题常转化为集合间的关系求解，但要注意端点值能否取到，对于证明题要从充分性和必要性两方面说明． 例1 已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． [解]　(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以A⊆B，又A≠∅， 则 解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]． (2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有 即 则方程组无解． 故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件． 例2 求证：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|. [证明]　充分性：因为a>|b|，所以a>0， 即|a|>|b|≥0，所以a2>b2， 所以a>|b|是a2>b2的充分条件， 因为a＝－2，b＝1时a2>b2，但a<|b|， 所以a>|b|不是a2>b2的必要条件． 综上，a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|. 知识点3 全称量词命题与存在量词命题：全称量词命题和存在量词命题主要包括这两类命题的判定与否定．对于判定类的题目可直接根据定义判断，对于否定类的要否定量词和结论．本知识点常用方程的解、不等式、集合等交汇命题，难度为基础题，主要考查逻辑推理能力和综合应用能力． 例1 命题p：“∀x∈R，x2>0”，则(　　) A．p是假命题；p：∃x∈R，x2<0 B．p是假命题；p：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；p：∀x∈R，x2<0 D．p是真命题；p：∀x∈R，x2≤0 【解答】由于02>0不成立，故“∀x∈R，x2>0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B. 例2 已知命题“∃x∈R，使4x2＋x＋(a－2)≤0”是假命题，求实数a的取值范围． [解]　∵命题“∃x∈R，使4x2＋x＋(a－2)≤0”是假命题． ∴命题“∀x∈R，使4x2＋x＋(a－2)>0”是真命题． 即判别式Δ＝12－4×4×(a－2)<0. 即a>. 二．活学活用培优训练 一、单选题 1．命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出命题为真时等价条件（充要条件），然后根据定义判断． 【详解】任意，，即恒成立，所以， 只有A是充分不必要条件． 故选：A． 2．已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】满足，但无意义，不成立，不充分， 反之，满足，但无意义，即不成立，因此不必要， 从而应为既不充分也不必要条件 故选：D． 3．设，则“”是“”的（       ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分