1.2.1 等差数列及其通项公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．2　等差数列 1．2．1　等差数列及其通项公式 [学习目标]　1． 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 知识点一　等差数列的定义 [问题导引]　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986． ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10． 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示：　对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062．对于②有270－275＝－5，265－270＝－5，265－270＝－5，…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律． 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示． 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d． ①1，3，5，7，9，…； ②9，6，3，0，－3，…； ③1，3，4，5，6，…； ④7，7，7，7，7，…； ⑤1，，，，，…． 解析：　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是． 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．　　 即时练1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10　　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 ABD　[A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．] 知识点二　等差数列的通项公式 [问题导引]　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…， 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …， an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)． (链接教材P12－例1)在等差数列{an}中． (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9． 解析：　(1)∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 (2)设数列{an}的公差为d． 由已知得，解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， a9＝2×9－1＝17． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 即时练2．(2021·淮安检测)等差数列{an}中，已知a3＋a5＝8，a1＝2，则公差d＝(　　) A．　　 B．　　　 C．1　　　　 D．2 B　[由a3＋a5＝2a1＋6d＝8，a1＝2，可得公差d＝，故选B．] 即时练3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________． 解析：　设等差数列{an}的公差为d，则 即解得 所以a12＝a1＋11d＝－＋11×＝＝15，所以a12的值是15． 答案：　15 知识点三　等差中项 [问题导引]　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示：　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2． 在两个数a，b之间插入数M，使a，M, b成等差数列，则M称为a与b的等差中项． (链接教材P12－例2)(1)已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A．　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (2){