1.1.2 数列的递推公式与单调性（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

第2课时　数列的递推公式与单调性 知识点一　数列的递推公式 [问题导引]　观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，…… (1)你能写出该数列的第8个数吗？ (2)你能用an＋1与an的一个数字表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？ 提示：　(1)36　(2)an＋1－an＝n＋1 如果数列{an}的任一项an＋1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an＋1＝f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 角度一　由递推公式求数列的某指定项 (链接教材P6—例4)已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N＋，且n>1)，写出数列{an}的前5项． 解析：　由题意，得a2＝3a1＋，而a1＝1， 所以a2＝3×1＋＝． 同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91． 由递推公式求数列的某指定项的方法 根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．　　 即时练1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是______． 解析：　因为a1＝0，所以a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255． 答案：　255 角度二　由递推公式求数列的通项公式 (链接教材P10—10题)(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)，求通项公式an． 解析：　(1)∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝； a3－a2＝； a4－a3＝； … an－an－1＝． 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋ ＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－． ∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－(n∈N＋)． (2)∵a1＝1，an＝(1－)an－1(n≥2)， ∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝． 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N＋)． 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式； (2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．　　 即时练2．若a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解析：　∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1． ∴＝＋(－)＋(－)＋…＋(－) ∴＝n＋1，∴an＝(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N＋)． 即时练3．若a1＝2，an＋1＝3an(n∈N＋)，写出数列的前5项，猜想an并证明． 解析：　由a1＝2，an＋1＝3an，得： a2＝3a1＝3×2， a3＝3a2＝3×3×2＝32×2， a4＝3a3＝3×32×2＝33×2， a5＝3a4＝3×33×2＝34×2， …， 猜想：an＝2×3n－1， 证明如下：由an＋1＝3an得＝3． 因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3． 将上面的n－1个式子相乘可得···…·＝3n－1． 即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1， 又a1＝2，故an＝2·3n－1． 知识点二　数列的单调性 名称 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项an＋1<an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 常数列 各项都相等的数列 (链接教材P8—例6)已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)． (1)求证：an>－2； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解析：　(1)证明：因为f(x)＝＝＝－2＋， 所以an＝－2＋．因为n∈N＋，所以an>－2． (2)数列{an}为递减数列．理由如下： 因为an＝－2＋，所以 an＋1－an＝(－2＋)－(－2＋) ＝－＝<0， 即an＋1<an，所以数列{an}为递减数列． 用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解