1.1.1 数列的概念及通项公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．1　数列的概念 [学习目标]　1． 通过日常生活和数学中的实例．2．了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．3．了解数列是一种特殊函数． 第1课时　数列的概念及通项公式 知识点一　数列的概念 [问题导引]　观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023，2 023，…，2 023； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 1．数列与数列的项 (1)数列：按照一定顺序排成的一列数叫作数列． (2)数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项． 2．数列的一般形式 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 3．数列的分类 项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列． (1)下列说法中正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列－1，3，6，－5的第三项为6 D．数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋的函数 (2)下列数列： ①1，2，22，23，…，263； ②1，0．5，0．52，0．53，…； ③0，10，20，30，…，1 000； ④2，4，6，8，10，…； ⑤－1，1，－1，1，－1，…； ⑥7，7，7，7，…； ⑦，，，，… 其中有穷数列是________，无穷数列是________(填序号)． 解析：　(1)由数列定义知，A，B不正确；D不正确的原因是数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值． (2)根据数列的概念知有穷数列是①③，无穷数列是②④⑤⑥⑦． 答案　(1)C　(2)①③　②④⑤⑥⑦ 1．数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． 2．判断数列是有穷或无穷数列，只需要看项的个数是有限还是无限即可． 即时练1．数列{1，2，3，…，n}和数列{1，2，3，…}都是正整数数列，项数分别是多少？ 解析：　第一个数列是有穷数列，共n项，第二个数列是无穷数列． 知识点二　数列的表示方法 [问题导引]　我们发现知识点一问题导引中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示：　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于②，an＝，n∈N＋； 对于③，an＝2 023，n∈； 对于⑤，an＝，n∈N＋． 数列的表示方法 (1)分类：解析式法、表格法、图象法． (2)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，－，，－，…； (2)，2，，8，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)－2，0，－2，0，…． 解析：　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数的一半，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋． (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋． (3)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋． (4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是－2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n－1，n∈N＋． 由数列的前n项求通项公式的解题策略 (1)用观察法求数列通项公式的策略 (2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 即时练2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前