第08讲 函数的概念和图像-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

5.1 函数的概念和图像 【知识梳理】 1.函数：一般地，设A,B是两个非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确认的对应关系,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称:A→B为从集合A到集合B的一个函数, 记作：. 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域； 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 2.函数的三要素： 定义域（集合A）、值域、对应关系（判断是否为同一函数只要看定义域、对应关系是否完全相同）. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的定义域 关于函数定义域的求法 (1) 分式分母不为0, (2) 二次根式的被开方数不小于0, (3) 0次幂的底数不为0. (4)如果解析式中含有多个式子,则用大括号将x满足的条件列成不等式组,解出各个不等式后求交集. 4.抽象函数求定义域 抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下几点： （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围； （2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域. （3）对于抽象函数定义域的求解，（1） 若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 . （4）若复合函数 的定义域为，则函数的定义域为在上的值域. 5.常见函数求值域 （1）直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围； （2）配方法：适用于与二次函数有关的函数 （3）分离常数法 形如的函数可变形为函数后求值域. （4）换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解 （5）对勾函数：对勾函数是指形如的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”． (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)． （6）图象法 画出图像，根据图像的最高点、最低点来判断 【典型例题】 考点一：函数概念 1. 下列各式中，函数的个数是(    ) ；；；． A. B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 本题考查函数的基本概念，属于基础题． 由函数的概念逐一分析求解即可． 【解答】 解：根据函数的定义可知，；；都是函数， 对应，要使表达式有意义，则， 即，则无解， 不是函数． 故选：．   考点二：函数图像 2. 若函数的定义域，值域，则函数的图象可能是(    ) A.   B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 本题考查函数的概念及图像，属于基础题． 解题时，根据函数的定义及定义域与值域，逐一判断即可求解 【解答】 解：选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 综上所述，正确选项为． 故选：．    3. 已知，，下列图形能表示以为定义域，为值域的函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 本题考查函数的概念和定义域、值域，属于基础题． 由题意结合函数的概念逐个选项进行分析即可． 【解答】 解：是函数图象，其值域为，故不符合题意； 是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意； 是函数图象，值域为，故不符合题意； 是函数图象，值域为，故不符合题意． 故选B．     考点三：相等函数 4. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 ACD  【解析】 【分析】 本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题． 结合函数的基本概念，通过对函数的定义域和函数的解析式的判断逐一分析求解即可． 【解答】 解：对于，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于，因为，， 两个函数的解析式相同，又两个函数的定义域相同都为，所以是同一函数； 对于，由得的定义域为的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于，由得的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数． 故选ACD．    5. 下列函数中，与函数是相等函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】 B  【解析】 【分析】 本题考查判断两个函数是否为同一个函数的问题，解题时应判断它们的定义域，值域和对应关系是否相同，是基础题． 根据同一函数的概念对选项一一判断即可． 【解答】 解：对于，函数的定义域为 而函数的定义域为，不是同一个函数； 对于，，定义域也相同，是同一个函数；