专题03函数的定义与性质（期末真题汇编，江苏专用）高一数学上学期苏教版

专题03 函数的定义与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的定义 考点02 分段函数 考点03 函数的的单调性 考点04 函数的奇偶性 地 城 考点01 函数的定义 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏盐城·期末)如果函数满足，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出，再代入计算可得. 【详解】因为，令，则， 所以. 故选：A 2．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期末)已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 3．(24-25高一上·江苏苏州·期末)下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域. 【详解】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 4．(24-25高一上·江苏徐州·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求解； 【详解】由题意可得：，得：， 所以数的定义域为， 故选：B 5．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 二、多选题 6．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则（   ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】对于A：令，即可得结果；对于D：令，可得；对于BC：举反例说明即可. 【详解】因为， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项D：令，可得， 即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确； 对于选项BC：例如， 则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 故选：AD. 三、非选择题 7．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 8．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)函数的值域为，的定义域为 (1)求； (2)若求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可. 【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时有最大值，且最大值为， 当，有最小值，且最小值为. 所以. （2）由，得，解得，所以，， 因为，所以，解得. 故实数的取值范围. 9．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知函数. (1)证明：的图象关于原点对称； (2)求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，利用指数运算以及奇函数定义，可得答案； （2）利用分离常数项整理函数解析式，根据指数函数取值以及不等式性质，可得答案. 【详解】（1）证明：由可得其定义域为， 因为，所以是奇函数， 故函数的图象关于原点对称. （2）由，则， 由，则，，可得， 所以. 地 城 考点02 分段函数 一、单选题 10．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 11．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可； 【详解】由分段函数的定义域可得，， 所以. 故选：C 12．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 13．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，则（   ） A．1 B．7 C．13 D．49 【答案】A 【分析】根据题中分段函数解析式代入运算求解即可. 【详解】因为， 则，所以. 故选：A. 14．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 15．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】结合诱导公式和特殊角的余弦值，根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 故选：C 16．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知函数则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式代入即可求得结果. 【详解】易知，所以. 故选：D 17．(24-25高一上·江苏镇江·期末)已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 18．(23-24高一上·江苏南京·期末)已知定义在上的函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的周期性化简之后再代入，最终求出余弦值即可. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：C 19．已知函数满足，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入即可求解. 【详解】， 故， 故选：B 二、多选题 20．(22-23高一上·河北保定蠡县第二中学·月考)设函数，若，则的取值可能是（    ） A．0 B．3 C．-1 D．2 【答案】AB 【分析】对分类讨论解方程即可求解. 【详解】若，解得， 若，解得. 故选：AB. 21．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数若，则实数的取值可能为（    ） A．-2 B． C．1 D．27 【答案】ABD 【分析】由题意可得或，分类讨论和，代入解方程即可得出答案. 【详解】令，所以， 当时，，解得：，所以， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当，，解得：，所以， 当时，，解得：， 当时，无解， 综上：实数的取值可能为：. 故选：ABD. 22．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数，其中为实数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数一定存在最小值 D．存在使得函数有个零点 【答案】ACD 【分析】分别作出、、、、时的函数图象，数形结合即可逐一判断. 【详解】当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 当时，作出函数图象如图所示： 对于A，因为， 无论为何值， ，故A正确； 对于B，当时，在上不单调，故B错误； 对于C，由图可知函数有最小值，故 C正确； 对于D，由图可知，当，时，函数有个零点，故D正确. 故选：ACD 三、非选择题 23．(24-25高一上·江苏苏州·期末)设函数若不等式对恒成立，则实数的值为 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，结合，，得出，再结合二次函数值域列式计算即可. 【详解】当，，所以， 若不等式，恒成立，则，所以， 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， 所以， 则，所以，所以. 故答案为：. 24．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数，则＝ ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义，由自变量所在的范围代入对应解析式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 25．(24-25高一上·江苏徐州·期末)若则 . 【答案】 【分析】代入即可求解. 【详解】， 故答案为： 26．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分析函数性质，并画出大致图象，随变化，的图象只在轴上平移，结合题设条件，只需保证，时有，即可求参数范围. 【详解】由在上单调递增，且过点， 在上，在上单调递减，在上单调递增， 结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移， 令过且平行于的直线为， 则，所以，故， 联立与，消去y得， 所以或， 对任意，都有成立， 由图知，在上不单调，必有， 需保证，时有， 所以， ，整理得，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质及图象，结合不等式恒成立得到，时有为关键. 27．(22-23高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)设函数，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当时，，则在时无解； 当时，，在单调递增，时，则的解集为； 当时，，则在时恒成立； 综上，的解集为. 故答案为：． 28．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合指数函数单调性可知在内值域为，进而可知在内的值域包含，结合一次函数性质分析判断. 【详解】因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可知在内值域为， 又因为的值域为， 可知在内的值域包含， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 29．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知且，函数满足，设. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对和进行分类讨论，再利用题目所给的函数解析式与等式关系可求出的值，则所求函数利用换元法可得到二次函数，利用配方法及二次函数性质即可求出值域. （2）先得到两个函数解析式和，对上两函数同时单调递增和同时单调递减进行分类讨论，得到关于的不等式组，进而求出的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，. ∵，且， ，即，解得. 当时，，. ∵，且， ，即，无解. 综上，，. . 令，，，. 当时，；当时，. 综上，函数在区间上的值域为. （2）由题意，函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由题可知：和在区间上同增或者同减. 若两函数在区间上均单调递增， 则在区间上恒成立， 故，解得. 若两函数在区间上均单调递减， 则在区间上恒成立， 故，该不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 30．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知函数. (1)求； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使得，且，求的最小值. 【答案】(1)0 (2) (3)1 【分析】（1）根据分段函数解析式代入求值即可得出结果； （2）利用指数函数和对数函数单调性解不等式即可； （3）结合函数图象并利用函数单调性可求得结果. 【详解】（1）易知， 所以； （2）当时，， 即，得， 当时，， 所以，解得， 故原不等式解集为 （3）画出函数的图象如下所示： 由图象可知最小值为1. 证明如下：设， 易知在上单调递减且，在上单调递增且； 所以，不妨设， 由可得， 且可得； 因此， 令，易知在上单调递增，且； 即， 所以最小值为1. 地 城 考点03 函数的的单调性 一、单选题 31．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)定义在R上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】由题意，在上单调递减， 又，而，即 故. 故选：B 32．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)函数，则的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，判断函数单调性，结合零点存在定理，即可求得答案. 【详解】令，则化为， 即，该函数在上单调递增， ，， 即， 故的零点所在的区间为. 故选：D 33．(24-25高一上·江苏苏州·期末)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 34．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 35．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理分析可知函数存在唯一零点，且，可得，即可得结果. 【详解】因为在内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 且， 可知函数存在唯一零点， 注意到，即， 且是函数的零点，可得，即， 结合选项可知的值所在的区间为. 故选：C. 36．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递增，当时，单调递减， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， ，， 因（因为）， 故，故， 故选：B 37．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 38．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 39．(24-25高一上·江苏徐州·期末)函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数单调性及零点存在性定理可得答案. 【详解】因均在上单调递减，则在 上单调递减， 又， ，， ，. 注意到，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间为. 故选：C 40．(24-25高一上·江苏盐城·期末)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性以及零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 又因为， 所以函数的唯一零点所在区间为. 故选：C. 41．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 故选：C. 42．(24-25高一上·湖北云学名联盟·)定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，即可得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【详解】因为且，都有， 所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，又，所以， 所以当或时，，当或时，， 不等式，即或， 解得或， 所以满足不等式的实数的取值范围为. 故选：D 43．(22-23高一上·广西百色·期末)设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到为奇函数，根据奇函数的性质得出上的单调性，然后分类讨论解不等式. 【详解】由和定义域可得，为奇函数， 由在上单调递增，由奇函数的性质得在上是增函数，且， 显然不满足， 又， 于是由，可得或，解得， 类似的，的解集为， 所以不等式等价为，解得， 或，解得， 综上所述，的解为. 故选：B. 44．(23-24高一上·北京朝阳区·期末)已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】由得：的图象关于点对称； ； 又在上连续不断，且在上单调递增， 所以在上单调递增. . 故选：B 45．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答. 【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即， 函数在单调递增，并且有， 则 ， 于是得，即，则， 又函数在单调递增，且，则有， 所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较， 如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小. 二、多选题 46．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的判定方法即可判断A，根据函数单调性的判断方法即可判断B，根据基本不等式即可判断C，直接解不等式即可判断D. 【详解】对于选项A，定义域为，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A正确； 对于选项B，设， 则 因为，所以，， 即，即， 所以在上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，当时，， 当时，， 即的值域为，所以选项C错误； 对于选项D， ，即，解得，则其解集为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 47．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，赋值求出，再结合、单调性逐项判断即可. 【详解】对任意实数x，y均有， 令，则，解得或， 当时，取，则与已知矛盾； 当时，取，则与已知矛盾， 因此，A错误； 对于B，，取，，则， 函数为奇函数，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 当时，与已知矛盾；当时，与已知矛盾， 因此，C正确； 对于D，，，由当时，，得， 因此，而， 则，即，函数在上单调递增，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 48．(24-25高一上·江苏连云港·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造函数函数，可得函数在是增函数，从而可得，再对选项中结论逐一分析即可. 【详解】对于A，因为，由对数函数的定义域可得， ，，A正确； 对于BD，， 即， 构造函数， 因为在都是增函数， 所以函数在是增函数， 由可得， ，，B错误，D正确， 对于C，因为，，C正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是构造函数，利用该函数的单调性得到. 三、非选择题 49．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令， 解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 50．(21-22高一上·内蒙古赤峰二中·月考)若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为 【答案】 【分析】设，由题可得是定义在上的偶函数，且在上单调递减，再结合条件可得，即求. 【详解】设， ∵对任意的两个正数，都有，即， ∴在上单调递减，又是定义在上的奇函数， ∴是定义在上的偶函数， 由得，即， ∴，又， 故的解集为. 故答案为：. 51．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． (1)判断函数的奇偶性并予以证明； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递增 (3) 【分析】（1）整理可得，结合奇函数定义分析判断即可； （2）整理可得，利用函数单调性的定义证明即可； （3）换元令，可得，求出最大值可得答案. 【详解】（1）由题意得，为奇函数． 任意，都有， ，即为奇函数； （2）， 对于任意的，且，则： 因为在上单调递增，， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递增； （3）在上单调递增，， ， 令，即， 有，当时，等号成立 综上，． 52．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)；函数在上单调递增 (2)答案见解析 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减， 上单调递增， 所以在上单调递增. （2）由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 53．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）利用，求出的值，验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； 【详解】（1）函数是奇函数， 则，解得， 经检验，当时，， 则，则为奇函数， 所以的值为2. （2）由（1）可知，，设， 则，因为， 所以，， 故，即， 所以是上的增函数. 54．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果； （2）由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）根据对数的运算性质，分离参数得，再求出都最小值即可. 【详解】（1）设的定义域为， 由题意得对于任意，都有恒成立， 即恒成立， ∴，∴， 当时，无意义； 当时，是定义域为的奇函数， ∴； （2）在上单调递减， 证明：设， 则 ， ∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴在上单调递减； （3）由， 得， 即， 所以， 所以， 令， 则，所以， 令，则， 则， 因为函数在都是增函数， 所以在是增函数， 所以，所以， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 55．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数. (1)证明：在上是增函数； (2)若对于任意的，恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由单调性的定义即可求证； （2）由函数的单调性及奇偶性去求解即可； 【详解】（1）假设， 则 ， 因为，所以，即，又， 所以， 所以在上是增函数， （2）由，所以为奇函数， 所以，在恒成立， 等价于， 又在上是增函数， 所以在恒成立， 则在恒成立， ，当时，取等号， 所以，即. 56．(24-25高一上·重庆礼嘉中学·)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性： (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性； （2）利用奇偶性与单调性转化问题为在上有解，分离参数为，有解，再转化为求，的最大值； （3）问题转化为，再解一元二次不等式即可． 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，所以， 即，则，符合题意， 令，则=， 因为所以，则，因为，所以， 所以在R上单调递增. （2）因为在定义域上单调递增，又是定义在R上的奇函数， 所以在有解， 等价于在上有解， 即在上有解，即，有解， 令，，因为在[2，3]上单调递减， 所以，所以. （3）若对任意的时，不等式恒成立， 则有恒成立， 因为在R上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 综上得的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如是奇函数且是增函数，不等式，先化为，由奇函数性质得，再由增函数性质化为，然后再求解．如果是偶函数，则不等式化为，然后由函数在上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形． 57．(24-25高一上·湖南天壹名校联盟·月考)设函数（且，为常数）. (1)若为奇函数，求不等式的解集； (2)若为偶函数，且，证明：在单调递增； (3)设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义得到的值，即可求得解集； （2）先根据函数时偶函数得到的值，再根据得到的值，即可根据定义证明函数的单调性； （3）根据（2）中的单调性以及解析式，求得的最小值，再结合能成立问题可求得取值. 【详解】（1）由于有意义，奇函数满足， 此时，满足，符合题意， 由得，当时，得，即， 即不等式的解集为； 当时，得，即， 即不等式的解集为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为； （2）因为为偶函数，则，得， 移项可得，所以，即， 由得，解得或， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，则，，所以， 所以，所以在单调递增； （3）由（2）可知在上单调递增， 时，的最小值为； 由题意得，使， 即在有解， 令，由（2）知在单调递增， ，则， 则转化为在有解， 只需， 在单调递减，且在单调递减， 当时，取最大值为， ，即的取值范围为. 58．(24-25高一上·辽宁名校联盟·月考)已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 59．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数性质求参数，注意验证即可； （2）利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性； （3）法1：根据函数的单调性有，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换元法及函数单调性求参数范围. 【详解】（1）因为在上的图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即，检验如下， 此时，所以， 故是奇函数，满足要求. 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 任取且，则， 因为，所以，又，， 所以，所以在上单调递减. （3）法1：因为，所以可化为 因为在上单调递减，所以， 即，所以，解得. 法2：在中，令，则， 即，即，所以， 即，所以，解得. 地 城 考点04 函数的奇偶性 一、单选题 60．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质，结合可求得函数的解析式，再利用即可求值. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得，则， 因为， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据所求和式的特征，通过计算得，即可求值. 61．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数的性质，利用函数的奇偶性及函数取值情况判断即可. 【详解】函数中， ，，即函数定义域为， ， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除BD； 当时，，即，排除A. 故选：C 62．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性、在上的函数值符号以及函数的零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则恒成立， 由可得，解得， 故函数的定义域为， 因为， 所以，函数为奇函数，排除D选项， 由得，可得， 故函数有无数个零点，排除B选项， 当时，，，则， 则，此时，，排除A选项. 故选：C. 63．(24-25高一上·江苏南通·期末)设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．不充分不必要 【答案】D 【分析】利用充分，必要条件的定义举反例求解即可 【详解】若， 如图： 当时，单调递增不能推出； 若 如图： 当时， 不能推出单调递增； 所以“单调递增”是“”的不充分不必要条件， 故选：D 64．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（    ） A．函数无最值 B．只有最大值为 C．只有最小值为 D．最小值，最大值为 【答案】B 【分析】令，，利用奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再利用基本不等式计算可得. 【详解】令，， 则为奇函数，为偶函数， 所以，， 解得， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以只有最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的奇偶性得到关于、的方程组，从而求出的解析式. 65．(24-25高一上·江苏常州·期末)下列函数中，是奇函数且在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根奇偶函数的性质和幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A， 的定义域为， 且，所以在定义域内为偶函数，故A错误； 对于B， 的定义域为R， 且，所以在定义域内为偶函数，故B错误； 对于C，，的定义域为， 且是奇函数, 因为，所以在单调递减，故C正确； 对于D，的定义域为R，且是奇函数， 因为，所以在单调递增，故D错误； 故选: C. 66．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则 （    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 【答案】B 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 则的对称中心为，所以， 设 ， ， 故选B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键. 67．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，，两式相减得，即可求得. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 则，， 两式相减得， 则， 则. 故选：A. 二、多选题 68．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若实数，且满足，则的最小值为6 【答案】ACD 【分析】根据奇函数的性质可求得A，根据函数的单调性可判断B，根据基本不等式可求得最值，即可判断C，根据奇函数的性质以及基本不等式可求得D. 【详解】对于A，因为函数是奇函数，所以， 即，所以， 当时，满足是奇函数，所以选项A正确； 对于B，根据A可知，因为，所以，即， 设，则 ， 因为，所以，， ，那么，即， 所以在上单调递增， 由于且，所以，选项B错误； 对于C，当时，，根据基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当时，，，根据， 当且仅当即时，等号成立，所以， 综上函数的最大值为1，选项C正确； 对于D，因为是奇函数，， 则， 又，在上单调递增，所以，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： （1）对于奇函数，如果在处有意义，则； （2）定义法判断函数的单调性，根据单调性判断函数值的大小； （3）运用基本不等式时一定要注意“一正二定三相等”. 69．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 70．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 【答案】AC 【分析】根据奇函数求出即可判断A选项，根据即可求出，根据单调性及其性质即可求解B选项，根据导数即可求解C选项，令，，找出和的关系，结合导数即可求解D选项. 【详解】奇函数满足， 则，比较分子得， 解得，故A正确； 代入，得 ，解得， 故，设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以在单调递增， 所以在时单调递增， 因为，所以， 故，故B错误； 当时，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时， ，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以最大值为，故C正确； 因为， 所以，其中， 令，所以， 所以， 所以，所以或， 当时，此时且， 因为，在单调递增， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 当时，令，则，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于令，，找出和的关系. 71．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知定义域为的函数满足，为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．的周期为2 C．为奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】推导出，从而得到的周期性，即可判断B，再由为奇函数，得到，即可得到的对称性，即可判断A，结合周期性与对称性判断C、D. 【详解】因为的定义域为， 又因为，则， 所以，所以的周期为，故B错误； 又为奇函数，所以，所以， 所以，所以关于对称，故A正确； 因为关于对称，所以，又， 所以，即，所以为奇函数，故C正确； 若，则，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 三、非选择题 72．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 73．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解： （1）若函数与的图象关于点对称，则； （2）若函数与的图象关于直线对称，则. 74．(24-25高一上·江苏南通·期末)若是奇函数，且当时，，则 . 【答案】0 【分析】根据奇函数性质以及函数解析式计算可得结果. 【详解】由奇函数可得， 又，所以. 故答案为：0 75．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出的图象，再根据与函数图象平移分析即可. 【详解】由题意可得，所以， 当时，，当时，，结合 为定义在上的奇函数可作出的图象，. 又的函数图象为向左平移6个单位得到的，， 则的图象在的上方， 则，解得.      综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 76．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，所以， 所以， 所以为奇函数，所以. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故答案为：. 77．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 78．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)设b为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意，都存在，使得成立，求实数m的取值范围； (3)设方程的两个根为，若，求的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析； (2)或； (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出的值；再利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （2）由（1）的信息，求出在上的最值，结合已知构建不等式分类求出范围. （3）由单调性脱去法则“f”，利用对数运算建立关系的一元二次方程，利用韦达定理得，再利用对数函数单调性，结合已知求出范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，，则， 所以在上单调递减. （2）依题意，， 而函数在上单调递减， 则，， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以的取值范围是或. （3）由（2）知，，且函数是上的单调递减函数， 方程等价于， 整理得，化为， 令，则有， 且恒成立， 则关于的一元二次方程有两个不等实根，设为、，且，， 于是，， ， 又，则， 由，得，则， 解得或，因此或， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则； ②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则； ④若，使得成立，则. 79．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 【答案】(1)选①，或选②， (2)选①或选②，个 (3)选①，，；选②，， 【分析】（1）若选①，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；若选②，由，结合对数的运算性质可求得实数的值； （2）若选①或②，当时，求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）若选①或②，分、两种情况解不等式，根据其解集为，由此可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）若选①，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以； 若选②，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以. （2）若选①，当时，函数. 因为在上单调递减， 且在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 又因为在定义域上单调递减， 所以函数在上单调递减. 又因为的图象连续不间断， 且，，则， 所以在区间上有唯一的零点. 若选②，（2）当时，函数. 因为在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又因为在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又因为的图象连续不间断， 且，， 所以在区间上有唯一的零点. （3）若选①，因为，若， 当且仅当，所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，解得， 所以，则，解得，； 若选②，因为，若，当且仅当， 所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，所以， 所以，所以，则， 解得，. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 80．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； （2）对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； （3）， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问，解答时要注意分类讨论脱去绝对值符号，进而判断函数的单调性，即可求解. 81．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数 (1)计算的值： (2)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 【答案】(1)； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)证明见解析，. 【分析】（1）将代入求值即可 （2）利用单调性得定义证明即可； （3）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1） （2）函数在上单调递减.证明如下： 任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3）证明：设，则. 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 因为是由的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位， 故的图象关于点成中心对称图形. 82．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)对于定义在上的函数和，如果满足：对任意，有，则称为的“伴随函数”. (1)若，，判断是否为的伴随函数，并说明你的理由； (2)若函数为的伴随函数，且. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是值域为的偶函数，求函数的值域. 【答案】(1)是；理由见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由函数解析式，分别代入式子的左、右两边，运算验证两等式成立； （2）（ⅰ）利用“伴随函数”定义，利用等式赋值探索性质可得；（ⅱ）将看作整体，表示所求函数，利用基本不等式求最值可得. 【详解】（1）为的“伴随函数”. 理由如下：若，，对任意， 则有； ； 所以； 且有； ； 所以. 故为的“伴随函数”. （2）（ⅰ）若函数为的伴随函数，对任意， 则， 由，可知，且. 令，， 两式相加得， 故； 同理，两式相减可得，故，且. 再令，可得， 可得 . 由， 则； （ⅱ）若是值域为的偶函数，对任意，则， 则式可化为， 由，故对任意，，即为奇函数； 则式可化为， 则与同号， 假设，则， 又由可知，，， 则有，这与矛盾， 故，即，且； 且当，由可知，； 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 联立，又，可解得， 此时满足条件，故等号能取到. 且当时，，即. 故函数的值域为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是利用“伴随函数”的定义，由的任意性可进行赋值构造探索性质并应用；二是所求函数用两个整体式表达，利用基本不等式求最值. 83．(24-25高一上·江苏盐城·期末)定义：对于函数，，，若存在实数使得，则称 为的生成函数. (1)设，，，判断并证明生成函数在的单调性； (2)设，，，函数的图象恒在轴的上方，的取值范围； (3)设，，能否生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数；②的最大值为；若能求出，否则说明理由. 【答案】(1)为上的增函数，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据单调性的定义可证明为上的增函数. （2）原不等式等价于，其中，利用参变分离可求参数的取值范围. （3）根据偶函数的性质和最大值可求参数的值，从而可求. 【详解】（1）为上的增函数 证明：，设， 则， 因为，则且， 故，即，所以为上的增函数. （2）， 由题设有在上恒成立，设，则， 又，故， 所以恒成立，而在上为增函数， 故，故. （3）设，则， 因为为偶函数，则， 故，故即， 所以， 令，， 因为的最大值为，故在上的最大值为， 而当且仅当时等号成立，故且， 故. 所以. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的最值问题，注意根据函数的形式选择合适的换元，从而把复杂函数的最值问题转化为二次函数的最值或利用基本不等式求解. 84．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设定义在上的奇函数和偶函数，满足. (1)的值； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得，从而求得的值. （2）利用函数单调性的定义，由来证得结论成立. （3）根据函数的单调性和奇偶性来求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，定义在上的奇函数和偶函数， 有， 解得， 所以. （2）由（1）得，任取， 所以 ， 由于在上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减. （3）由，得， 由（2）得在上单调递减， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 85．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数. (1)设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. (2)已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可； （2）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，∴ 又∵为奇函数，∴当时，， 又∵是定义域在上的奇函数，∴， 综上所述，函数的解析式为. （2）当时，，， ∴ 令，当时，， 设，， ∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为， 令，解得（舍）或， ∴当时，函数（其中）的最小值为， 则实数的值为. 86．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知函数，是定义在上的奇函数. (1)若，求的取值集合； (2)若，当时，，且对任意，证明：为周期函数；并写出在区间上的解析式；（只写结果，不用写过程） (3)在（2）的条件下，对于，若满足：，求实数的取值范围. 【答案】(1) . (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由函数解析式，利用对数运算，结合对数函数单调性以及正切函数的性质，可得答案； （2）由题意可得函数的对称中心与对称轴，根据函数周期性的定义，可得答案，根据函数奇偶性以及函数图象变换，可得答案； （3）由对数函数的单调性以及奇函数的性质，可得函数在上的单调性，化简不等式可得不等式组，可得答案. 【详解】（1）由，且，则， 可得，且，由函数在上单调递增，则，可得或（舍去），解得，其中， 所以不等式的解集为 . （2）证明：因为，所以函数的图象关于直线成轴对称，即， 因为函数在上为奇函数，所以函数的图象关于原点成中心对称，， 因为， 所以函数是周期函数，最小正周期， 当时，，则， 可得； 将函数的图象向左平移个单位，可得的图象， 则当时，， 由函数的图象关于直线成轴对称，则函数的图象关于轴对称，即， 所以当时，，，可得 函数的图象可由函数向右平移个单位得到， 当时，； 当时，，则，可得. 综上可得. （3）由题意可得函数在上为奇函数，则， 由（2）可得当时，，易知函数在上单调递增， 由函数为奇函数，则函数在上单调递增， 由，则，可得， 所以，解得. 87．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数，，令，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明： (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)是上的增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意求得，然后任取，且，再化简变形进行判断符号，从而可判断其单调性； （2）先判断为奇函数，然后将不等式转化为，再根据是上的增函数，得，令，换元后将问题转化为，再构造函数可求得结果. 【详解】（1）是上的增函数. 证明：由题意得，，， 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，又，， 所以，即， 所以是上的增函数； （2）因为，所以是上的奇函数， 由，得， 所以， 又因为是上的增函数，所以， 即， 化简得，， 令，则， 因为与在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 所以存在，使. 因为和在上单调递减， 所以当时，单调递减， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性和函数奇偶性的综合问题，考查利用函数奇偶性和单调性解决不等式能成立问题，第（2）问解题的关键是根据奇函数的性质及单调性将问题转化为，再通过换元进一步将问题转化为存在，使，再构造函数，利用函数的单调性可求得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 88．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知为偶函数，为奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求出，，联立即可求解和； （2）（i）证明为上的奇函数，证明是上的增函数，根据增函数列出不等式即可求解； （ii）求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为①， 所以， 又因为为偶函数，为奇函数， 所以②， 由①②得：； （2）（i）， 又，故为上的奇函数， 将变形可得， ，且， 有 ， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 又因为，所以， 所以是上的增函数， 因此不等式等价转化为， 即， 所以，即， 所以不等式的解集为 （ii）由（i）知为上奇函数， 所以，故对任意的恒成立， 又因为为上增函数， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，故， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 函数在上单调递增， 故，所以，即. 【点睛】关键点睛：本题（2）（ii）关键在于证明原题可转化为对任意的恒成立. 89．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知函数． (1)求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为奇函数 (2) 【分析】（1）利用对数函数的性质求解定义域，再判断其与原点对称，最后结合奇偶性的定义判断奇偶性即可. （2）利用函数的奇偶性和对数函数的单调性解不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 判断为奇函数，证明如下：， 都有，对于， 又所以为奇函数； （2）因为为奇函数，所以， 因为，所以，即， 即，故，解，得到或， 解，得， 综上，，即的取值范围是. 90．(23-24高一上·山东日照·期末)已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 91．(24-25高一上·江西三新协同教研共同体·)已知函数与的图象关于直线对称． (1)若是奇函数，求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知实数，满足，．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象的对称可知，再由奇函数的定义列方程解方程； （2）代入函数解析式，分离常数构造新函数，利用换元法结合对勾函数的单调性可得最值，进而确定参数范围； （3）根据指数与对数的运算化简可得，构造函数，利用定义法可确定函数单调递增，则可得，即，进而可得解. 【详解】（1）由已知函数与的图象关于直线对称， 则， 则， 又函数是奇函数， 所以， 整理可得， 又不恒为，所以， 此时或， 均满足奇函数， 所以； （2）由，即， 由（1）得， 则可转化为， 即不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 即在上的最大值为， 即， 所以，即； （3）由实数，满足，， 所以，，则， 所以，，即，，， 令，，则 设，则，，， 所以，即， 所以在上单调递增． 因为方程等价于， 所以，即， 所以． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的定义与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的定义 考点02 分段函数 考点03 函数的的单调性 考点04 函数的奇偶性 地 城 考点01 函数的定义 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏盐城·期末)如果函数满足，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期末)已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·江苏苏州·期末)下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏徐州·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则（   ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 三、非选择题 7．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)已知函数的定义域为，则的定义域为 8．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)函数的值域为，的定义域为 (1)求； (2)若求实数a的取值范围. 9．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知函数. (1)证明：的图象关于原点对称； (2)求函数的值域. 地 城 考点02 分段函数 一、单选题 10．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数则（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，则（   ） A．1 B．7 C．13 D．49 14．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．4 16．(24-25高一上·江苏南通·期末)已知函数则（    ） A． B． C．0 D．1 17．(24-25高一上·江苏镇江·期末)已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高一上·江苏南京·期末)已知定义在上的函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数满足，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 20．(22-23高一上·河北保定蠡县第二中学·月考)设函数，若，则的取值可能是（    ） A．0 B．3 C．-1 D．2 21．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数若，则实数的取值可能为（    ） A．-2 B． C．1 D．27 22．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数，其中为实数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递增 C．函数一定存在最小值 D．存在使得函数有个零点 三、非选择题 23．(24-25高一上·江苏苏州·期末)设函数若不等式对恒成立，则实数的值为 . 24．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数，则＝ ． 25．(24-25高一上·江苏徐州·期末)若则 . 26．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 . 27．(22-23高一上·江苏南京师范大学附属中学·期末)设函数，则满足的的取值范围是 . 28．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若的值域为，则的取值范围为 . 29．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知且，函数满足，设. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数和在区间上的单调性相同，求实数的取值范围. 30．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期末)已知函数. (1)求； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使得，且，求的最小值. 地 城 考点03 函数的的单调性 一、单选题 31．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)定义在R上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 32．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)函数，则的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高一上·江苏苏州·期末)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 35．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 36．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 37．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 38．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高一上·江苏徐州·期末)函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 40．(24-25高一上·江苏盐城·期末)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 41．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．(24-25高一上·湖北云学名联盟·)定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．(22-23高一上·广西百色·期末)设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 44．(23-24高一上·北京朝阳区·期末)已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 45．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 46．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 47．(24-25高一上·江苏天一中学·期末)已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 48．(24-25高一上·江苏连云港·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 49．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 50．(21-22高一上·内蒙古赤峰二中·月考)若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为 51．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． (1)判断函数的奇偶性并予以证明； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 52．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 53．(24-25高一上·江苏泰州兴化中学·期末)设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)求证：是增函数． 54．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 55．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知函数. (1)证明：在上是增函数； (2)若对于任意的，恒有，求实数的取值范围. 56．(24-25高一上·重庆礼嘉中学·)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值，并用定义证明的单调性： (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围． (3)若对任意的时，不等式恒成立，求正实数的取值范围． 57．(24-25高一上·湖南天壹名校联盟·月考)设函数（且，为常数）. (1)若为奇函数，求不等式的解集； (2)若为偶函数，且，证明：在单调递增； (3)设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围. 58．(24-25高一上·辽宁名校联盟·月考)已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 59．(24-25高一上·江苏扬州·期末)已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 地 城 考点04 函数的奇偶性 一、单选题 60．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期末)已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 61．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 62．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 63．(24-25高一上·江苏南通·期末)设为上的奇函数，则当时，“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．不充分不必要 64．(24-25高一上·江苏盐城·期末)若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（    ） A．函数无最值 B．只有最大值为 C．只有最小值为 D．最小值，最大值为 65．(24-25高一上·江苏常州·期末)下列函数中，是奇函数且在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 66．(24-25高一上·江苏常州溧阳·期末)我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则 （    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 67．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 68．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若实数，且满足，则的最小值为6 69．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 70．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若正实数满足，则的最小值为6 71．(24-25高一上·江苏盐城·期末)已知定义域为的函数满足，为奇函数，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．的周期为2 C．为奇函数 D．若，则 三、非选择题 72．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 73．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 74．(24-25高一上·江苏南通·期末)若是奇函数，且当时，，则 . 75．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知是定义在上的奇函数，当时，，且对任意，成立，则实数的取值范围为 . 76．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设为实数，已知函数，若存在实数a，b同时满足和，则实数的取值范围是 . 77．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 78．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期末)设b为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意，都存在，使得成立，求实数m的取值范围； (3)设方程的两个根为，若，求的取值范围. 79．(24-25高一上·江苏苏州·期末)已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 80．(24-25高一上·江苏南通如皋·期末)已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 81．(24-25高一上·江苏南京金陵中学·期末)已知函数 (1)计算的值： (2)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求出对称中心. 82．(24-25高一上·江苏无锡锡山高级中学·期末)对于定义在上的函数和，如果满足：对任意，有，则称为的“伴随函数”. (1)若，，判断是否为的伴随函数，并说明你的理由； (2)若函数为的伴随函数，且. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是值域为的偶函数，求函数的值域. 83．(24-25高一上·江苏盐城·期末)定义：对于函数，，，若存在实数使得，则称 为的生成函数. (1)设，，，判断并证明生成函数在的单调性； (2)设，，，函数的图象恒在轴的上方，的取值范围； (3)设，，能否生成一个函数，同时满足下列条件：为偶函数；②的最大值为；若能求出，否则说明理由. 84．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)设定义在上的奇函数和偶函数，满足. (1)的值； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解关于的不等式. 85．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数. (1)设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. (2)已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 86．(24-25高一上·江苏连云港·期末)已知函数，是定义在上的奇函数. (1)若，求的取值集合； (2)若，当时，，且对任意，证明：为周期函数；并写出在区间上的解析式；（只写结果，不用写过程） (3)在（2）的条件下，对于，若满足：，求实数的取值范围. 87．(24-25高一上·江苏常州·期末)已知函数，，令，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明： (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 88．(24-25高一上·江苏无锡·期末)已知为偶函数，为奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 89．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知函数． (1)求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； (2)若，求实数的取值范围． 90．(23-24高一上·山东日照·期末)已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 91．(24-25高一上·江西三新协同教研共同体·)已知函数与的图象关于直线对称． (1)若是奇函数，求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知实数，满足，．求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $