专题17 圆与四边形结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题17 圆与四边形结合 1．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解． 【详解】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，可知点是点关于的对称点， 过点作，使得， 连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 则， 故的周长最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键． 2．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断和所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是可得到BC的长． 【详解】解：如图，连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F， ∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝2， 在Rt△OBD中，OD＝， ∵将沿BC折叠， ∴和所在的圆为等圆， ∴， ∴AC＝DC， ∴AE＝DE＝1， ∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°， ∴四边形ODEF是矩形， ∵DE＝OD＝1， ∴四边形ODEF是正方形， ∴OF＝EF＝1， 在Rt△OCF中，CF＝， ∴CE＝CF＋EF＝2＋1＝3， 而BE＝BD＋DE＝2＋1＝3， ∴BC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理及正方形的判定和性质等． 3．在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（       ） A．104 B．116 C．120 D．100 【答案】B 【分析】设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解． 【详解】解：设的中点为，连接、，如下图： 则， 根据题意可得，， 的最大值，即是的最大值 又∵点M在以半径为2的⊙D上运动 ∴的最大值 由勾股定理可得： ∴的最大值为7 ∴的最大值为 故选：B 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键． 4．如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝，PB＝1，则PC的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作交延长线于点，可得为等腰直角三角形，根据圆内接四边形的性质可得，为等腰直角三角形，设，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点作交延长线于点，如下图 ∵C是半圆的中点 ∴ 又∵为直径 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∵四边形为圆的内接四边形 ∴ ∴为等腰直角三角形 设，则 在中，根据勾股定理得：，即 解得 ． 故选D 【点睛】此题考查了圆内角四边形的性质，弦与弧的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出以为边的直角三角形． 5．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，，根据，，，四点共圆，可得，再根据，可得当点在线段上时，，即线段的最大值为． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ，， ，，，四点共圆， 正方形的边长为， ， 为的中点，是的中点， ， ， 当点在线段上时，， 即线段的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理等知识的综合应用；熟练掌握正方形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键． 6．如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形，