专题16 圆锥侧面最短路径-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题16 圆锥侧面最短路径 1．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可． 【详解】∵圆锥的底面周长为2π ∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，如图 ∴∠BAD=90゜ ∵D为AC的中点 ∴ 在Rt△BAD中，由勾股定理得 即最短路线长为 故选：A 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法． 2．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可． 【详解】解：如图: ∵， ∴设弧所对的圆心角的度数为n， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长． 3．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图， 连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2， 解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短， ∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 4．一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是30cm，底面圆的直径是15cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用（       ）厘米（接口处重合部分忽略不计） A．30πcm B．30cm C．15πcm D．1 5cm 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意可得圆锥的展开图的圆心角=×360°=90°，则展开图为等腰直角三角形，根据勾股定理可得斜边长为30cm. 考点：圆锥的性质. 5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号） 【答案】6 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【详解】∵底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为2×＝3， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n． ∴， 解得n＝90°， 如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程， ∵∠O=90°，OA′=OA=6， ∴AA′＝． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点． 6．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________． 【答案】 【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可． 【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4， 侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º， C为AD的中点SD=2， 线段AC是小虫爬行的最短距离， 在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键． 7．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____． 【答案】3． 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定