专题15 证切线求面积-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题15 证切线求面积 1．如图，已知BC是的直径，PB是的切线．连接PO，过点C作OP的平行线交于点A，连接PA． (1)求证：PA是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接OA，AB，AB交OP于点D，易得，根据平行线的性质求得，结合，利用等腰三角形的三线合一易得OP是的平分线，得到，利用判定三角形全等的“SAS”得到与全等，进而得到，再利用切线的判定求解； （2）根据等腰三角形的性质易得，利用平行线的性质求得，结合得到，求出OP和AP的长度，再利用三角形的面积减去扇形的面积求出阴影部分的面积即可． (1) 证明：连接OA，AB，AB交OP于点D，如下图． ∵BC是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴OD垂直平分AB， ∴OP是的平分线， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵PB是的切线， ∴， ∴． ∵点A是上的一点，且OA为半径， ∴PA是的切线； (2) 解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式．作出辅助线构建直角三角形是解答关键． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． (1)求证：OPBC； (2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行； （2）利用切线的性质得到OC垂直于CD，从而得到OCAD，即可得到∠APO＝∠COP，进一步得出∠APO＝∠AOP，确定出△AOP为等边三角形，根据平行线的性质得出∠OBC＝∠AOP＝60°，从而得到△OBC为等边三角形，继而得出△POC为等边三角形，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，进而求出CD＝，由扇形的面积和梯形的面积可求出答案． (1) 证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上． ∴ ∴∠AOP＝∠COP， ∴∠AOP＝∠AOC， 又∵∠ABC＝∠AOC， ∴∠AOP＝∠ABC， ∴POBC； (2) 解：连接PC， ∵CD为圆O的切线， ∴OC⊥CD，又AD⊥CD， ∴OCAD， ∴∠APO＝∠COP， ∵∠AOP＝∠COP， ∴∠APO＝∠AOP， ∴OA＝AP， ∵OA＝OP， ∴△APO为等边三角形， ∴∠AOP＝60°， 又∵OPBC， ∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB， ∴△BCO为等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∴∠POC＝180°−（∠AOP＋∠COB）＝60°，又OP＝OC， ∴△POC也为等边三角形， ∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC， 又∵∠OCD＝90°， ∴∠PCD＝30°， 在Rt△PCD中，PD＝PC， ∴PC＝OP＝2PD＝2，CD＝， ∴图中阴影部分的面积＝S梯形POCD−S扇形POC＝×(PD＋OC)×CD− ＝×(1＋2)×−π ＝． 【点睛】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，扇形的面积公式以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键． 3．如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC． (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由圆周角定理可得：，由切线的性质可得：，即可求得，即可求证； （2）根据，分别求得，，即可求解． (1) 证明：由题意可得： 又∵ ∴， ∵⊙O与CD相切于点E， ∴， 又∵， ∴， 又∵为半径， ∴AD是⊙O的切线； (2) 解：∵ ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，， ， 【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 4．如图，已知为的直径，是的弦，是的切线，切点为B，点D，F是的三等分点，，的延长线相交于点E． (1)求证：DC是的切线； (2)若的半径为1，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）连接OD由点D，F是，的三等分点可知，，进而可知====60°，则可证≌（SAS）由此可知，根据 BC是的切线