专题14 三角形的内心外心结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题14 三角形的内心外心结合 1．如图，扇形AOD中，，，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），于Q，点I为的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=． 【详解】解：如图，连OI，PI，DI， ∵△OPH的内心为I， ∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH， ∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）， 而PH⊥OD，即∠PHO=90°， ∴∠PIO=180°-（∠HOP+∠OPH）=180°-（180°-90°）=135°， 在△OPI和△ODI中， ， ∴△OPI≌△ODI（SAS）， ∴∠DIO=∠PIO=135°， 所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上； 过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O， 在优弧DO取点P′，连P′D，P′O， ∵∠DIO=135°， ∴∠DP′O=180°-135°=45°， ∴∠DO′O=90°，而OD=6， ∴OO′=DO′=， ∴r的值为， 故选D． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 2．如图，、分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图（见解析），连接BO，并延长交圆O于点D，连接AD、CD、CH，先根据三角形垂心的定义可得，再根据圆周角定理可得，然后根据平行线的判定可得，从而可得四边形是平行四边形，又根据平行四边形的性质可得，由圆周角定理可得，最后根据等腰直角三角形的性质即可得． 【详解】如图，连接BO，并延长交圆O于点D，连接AD、CD、CH 由三角形外心的定义得，点O为外接圆的圆心 BD为外接圆的直径，且 ，即 由三角形垂心的定义得， 四边形是平行四边形 是等腰直角三角形 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形垂心、外心的定义、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造一个平行四边形是解题关键． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A．56° B．62° C．68° D．78° 【答案】C 【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA， ∵∠AIC=124°， ∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB） =180°﹣2（∠IAC+∠ICA） =180°﹣2（180°﹣∠AIC） =68°， 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE=∠B=68°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质． 4．若三角形的三边长分别是 6、8、10，则这个三角形的内心与外心之间的距离为____________． 【答案】 【分析】先说明三角形三边是直角三角形，再根据直角三角形可确定三角形的外心在斜边的中点和直角三角形内切圆半径公式确定内切圆的半径，然后用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：∵三角形的三边长为BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm ∴三角形为直角三角形 ∴直角三角形的外心是斜边的中点，即AD=BD=AB=5 由直角三角形内切圆半径公式： 即OE=2 ∵OF⊥BC，OG⊥AC ∴CF=CG=OF=OG=2， ∴BE=FB=4，BD=5 ∴DE=BD-BE=1 在Rt△ODE中，DE=1，OE=2 ∴OD=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、直角三角形外心与内心有关知识，根据直角三角形的性质确定直角三角形的内心和外心是解答本题的关键． 5．如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______． 【答案】（2，3） 【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的