专题13 圆中将军饮马-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题13 圆中将军饮马 类型一 求直径上一点倒圆上两点距离和最小 1．如图，是⊙O的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】 作点B关于直径MN的对称点C，然后连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间的关系及等边三角形的性质可求解． 【详解】 解：作点B关于直径MN的对称点C，连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，如图所示： =， ， ∠AON=40°， 点为弧的中点， 与的度数为20°， ∠CON=20°， ∠AOC=60°， OA=OC， △AOC是等边三角形， MN=10， AC=OA=5， 即的最小值为5， 故答案为5． 【点睛】 本题主要考查最短路径及圆的基本性质，熟练掌握圆心角、圆周角及弧的等量关系是解题的关键． 2．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，连接OA，OC，根据圆周角定理与垂径定理得到∠AOC=90°，进而求得AC的长. 【详解】 解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°， 则弧BN的度数是30°， 根据垂径定理得弧CN的度数是30°， 则∠AOC=90°， 又∵OA=OC=MN=2， 则AC=2． 故选C. 【点睛】 本题主要考查圆周角定理与垂径定理，最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（       ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算． 【详解】 作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所 求作的点． 此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC，根据题意得： ∵∠AMN=30°， ∴弧AN的度数是60°， ∵B为AN弧的中点， ∴弧BN的度数是30°， ∵NO⊥BC， ∴弧BN=弧CN， ∴弧CN的度数是30°， ∴弧AC+弧AN+弧CN=90° ∴∠AOC=90°， 又∵OA=OC=1， ∴AC=． 即PA+PB的最小值为：， 故选B． 【点睛】 此题考查轴对称求最短路线问题，解答此题的关键是找到点B的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答． 4．如图，MN是⊙O的直径，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，如果PA+PB的最小值为，那么⊙O的直径等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算． 【详解】 解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点． 此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC， ∵∠AMN=40°， ∴∠AON=80°， 的度数是80°， 则的度数是40°， 根据垂径定理得的度数是40°， 则∠AOC=120°， 作OQ⊥AC于点Q， 则∠AOQ=60°，AQ=AC= , ∴OA=1, ∴MN=2OA=2， 故选A． 【点睛】 此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键． 5．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（　　） A．2+1 B．+1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．所以点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，所以∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，OA=OA′=，因为点B是弧AN的中点，