专题12 直角对直径之隐圆问题-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题12 直角对直径之隐圆问题 1．如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（       ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得． 【详解】解： 点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E 如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD 当点E、P、D在一条直线上时，PD最小 理由如下： ，EP=EF (当且仅当点F与点P重合时取等号) 此时PD最小 ，点E是AB的中点，EP是圆的半径 在中， 故PD的最小值为8 故选：A 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键． 2．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（　　） A．5 B．2﹣2 C．6 D．2+2 【答案】B 【分析】作CB关于DA的对称点C'B'，以AB中的O为圆心作半圆O，连C′O分别交DA及半圆O于P、F．将PC+PF转化为C′F找到最小值． 【详解】解：如图：取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆． 连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连接AF．连接BF并延长交DA于点E． 由以上作图可知，AF⊥EB于F． PC+PF＝PC'′+EF＝C'F 由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小． ∵C'B'＝4，OB′＝6 ∴C'O＝， ∴C'F＝， ∴PC+PF的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 3．如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴相交于点M，N，∠MPN＝90°，点C(0，3)，则PC长度的最小值是（　　） A．33 B．3﹣2 C． D．3 【答案】A 【分析】以MN为直径作⊙E，连接EC并延长交⊙E于点P，此时PC的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，进而可得出MN的长度及点E的长度，结合点C的坐标可求出CE的长，再利用CP=EP-CE=MN-CE，即可求出PC长度的最小值． 【详解】解：以MN为直径作⊙E，连接EC并延长交⊙E于点P，此时PC的长度最小. 当x＝0时，y＝0+6＝6， ∴点N的坐标为（0，6）； 当y＝0时，x+6＝0， 解得：x＝﹣6， ∴点M的坐标为（-6，0）． ∴MN6，点E的坐标为（﹣3，3）． 又∵点C的坐标为（0，3）， ∴CE＝3， ∴CP＝EP﹣CEMN﹣CE63＝33． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离=半径-该点到圆心的距离是解题的关键． 4．如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为_______________________． 【答案】2 【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题． 【详解】解： ∵AB⊥BC， ∴∠ABP＋∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC ∴∠BAP＋∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小， 在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4， ∴OB＝AB＝3， ∴OC＝， ∴PC＝OC−OP＝5−3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 5．如图，在边长为2的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动(任何一个点到达停止)，在运动过程中，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形的判定定理与性质得出，再根据正方形的性质、角的和差得出，从而得出点P的运动轨迹，然后根据圆的性质确认CP取最小值时点P的位置，最后利用勾股定理、线段的和差求解即可． 【详解】由题意得： 由正方形的性质得： ，即 在和中， ，即 点P的运动轨迹在以AB为直径的圆弧上 如图，设AB的中点为点O，则点P在以点O为圆心，OA为半径的圆上 连接OC，交弧AB于点Q 由圆的性质可知，当点P与点Q重合时，CP取得最小值，最小值为CQ ，即CP的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了三角形全等的判定定理与性质、圆的性质（圆周角定理）、