专题11 与垂径定理有关的拓展探究-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题11 与垂径定理有关的拓展探究 1．阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得： AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下： 解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2， 同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2， 为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y， ∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=… （1）请你完成小明剩余的证明过程； 理解运用： （2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD= ； ②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ； 拓展延伸： （3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目： 如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值． 请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②4；（3）AD长的最大值为10． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，根据勾股定理即可证明； （2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可解决； （3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．利用中线定理求出DE，再利用三边关系即可解决问题； 【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2， 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2， 同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2， 为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y， ∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x-y）2=2AE2+2x2+2y2 =2AE2+2BD2+2DE2 =2AD2+2BD2； （2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2， ∴62+42=2AD2+2×42， ∴AD=； ②如图3中， ∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线， ∵2EF2+2AE2=AF2+OF2， 2AF2+2BF2=AB2+AC2， OF2=OB2-BF2， ∴4EF2=2OB2-4AE2=2OB2-OA2， ∴EF2=OB2-OA2=16， ∴EF=4（负根舍弃）， 故答案为：①；②4； （3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE． 由（2）的②可知：DE2=OB2-OA2=， ∴DE=； 在△ADE中，AE=，DE=， ∵AD≤AE+DE， ∴AD长的最大值为+=10． 【点睛】本题考查了圆的性质、中线定理、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题． 2．问题提出：（1）如图1，已知是边长为2的等边三角形，则的面积为______． 问题探究：（2）如图2，在中，已知，，求的最大面积． 问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，MC的长度为8米或12米． 【分析】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积； （2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案； （3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题． 【详解】】解：（1）作AD⊥BC于D， ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴BD=1， ∴AD==， ∴△ABC的面积为， 故答案为：； （2）作△ABC的外接圆⊙O， ∵∠BAC=12