专题10 点到圆的距离-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题10 点到圆的距离 1．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（       ） A．5 B．3 C．5或3 D．10或6 【答案】C 【分析】由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在内时，． 综上可知此圆的半径为3或5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键． 2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（       ） A．3 B．14 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P＇位置时，O P＇取得最小值，据此即可求解AB的最大值． 【详解】解：∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°． ∵点A与点B关于原点O对称， ∴AO＝BO． ∴AB＝2OP． 若要使AB取得最大值，则OP需取得最大值，连接OM，交⊙M于点P＇，当点P位于P＇位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝3，MQ＝4， 由勾股定理得：OM＝5． ∵MP＇＝2， ∴OP＇＝3． ∵P在OP＇ 的延长线与⊙M的交点上时，OP取最大值， ∴OP的最大值为3＋2×2＝7． 则AB的最大值为7×2＝14． 故选：B． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最大值时点P的位置． 3．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM= ，求出A'C的最大值即可． 【详解】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0）， 则点O是AA'的中点， 又∵点M是AC的中点， ∴OM是△AA'C的中位线， ∴OM=， ∴当A'C最大时，OM最大， ∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2， ∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动， ∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置． A'C'＝AB+BC'＝3 ． ∴OM的最大值 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键． 4．如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为的上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（             ） A．8 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB过圆心A时，PB最大，即可求解． 【详解】解：如图，连接BP， ∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D， ∴BD=CD=12， ∵E是PC的中点， ∴， ∴当BP最大时，DE最大， ∵P是半径为的上一动点， ∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线， ∵AD=5，BD=12， ∴AB=13， ∴PB的最大值为13+3=16， ∴DE的最大值为8． 故选：A 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键． 5．如图，正比例函数y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的⊙C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据反比例函数与正比例函数的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据圆的性质可得当经过圆心时，取得最大值，最大值为，联立两个函数的解析式求出点的坐标，利用两点之间的距离公式可得的长，从而可得的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正比例函数与反比例函数的图象交于、两点， 点关于原点对称， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 由圆的性质可知，当经过圆心时，取得最大值，最大值为， 联立，解得或， ， ， ， 点在1为半径的上运动， ， ， 长的最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质、三角形中位线定理、圆的性质等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键． 6．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边的一动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CD到G