专题18 圆与一次函数反比例函数结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题18 圆与一次函数反比例函数结合 1．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（       ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图． 令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 2．已知直线y＝﹣x和抛物线y＝x2+3x+3的图象交于P、Q两点，点A在x轴的负半轴上移动，当∠PAQ取最大值时，A的横坐标为（　　） A． B．﹣2 C．﹣2 D． 【答案】D 【分析】利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过PQ且与x轴相切的圆D与x轴的切点为A，则A为所求，根据两点的距离可得结论． 【详解】解：由题意得：﹣x＝x2+3x+3， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3， ∴P（﹣3，3），Q（﹣1，1） 设过PQ且与x轴相切的圆的圆心为D（x，y），连接PD、DQ、AD，则AD⊥x轴，此时∠PAQ最大， 设A（x，0）， ∵PD＝DQ＝AD， ∴（x+3）2+（y﹣3）2＝（x+1）2+（y﹣1）2＝y2， 解得：，， ∵点A在x轴的负半轴上移动， ∴A（，0）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了两点的距离公式、圆的切线的性质、圆的性质：圆外角小于圆周角在求解角的最值的应用，有难度，注意数形结合的思想． 3．如图，一次函数y=-2x与反比例函数y=(k<0)的图象交于A，B两点，点P在以C(2，0)为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最小值为，则k的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，先确定OQ长的最小时，点P的位置，当BP延长线过圆心C时，BP最短，设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值． 【详解】连接BP， 由对称性得：OA＝OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ＝BP， ∵OQ长的最小值为， ∴BP长的最小值为×2＝1， 如图，当BP的延长线过圆心C时，BP最短，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP＝1， ∴BC＝2， ∵B在直线y＝−2x上， 设B（t，−2t），则CD＝2−t，BD＝2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2＋BD2， ∴22＝（2−t）2＋（2t）2， t＝0（舍）或t=， ∴B（，−）， ∵点B在反比例函数y＝（k＜0）的图象上， ∴k＝×(−)＝ 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键是利用勾股定理建立方程解决问题． 4．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【答案】B 【详解】把x=1代入y=，得y=3，故A点坐标为（1，3）； ∵A、B关于y=x对称，则B点坐标为（3，1）； 又∵B和C关于原点对称， ∴C点坐标为（﹣3，﹣1）， ∴点C的横坐标为﹣3． 故选B． 5．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________． 【答案】2+1 【分析】易求点P(4，4)，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以 AC=OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q'时，OQ最大，由此即可解决问题. 【详解】点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等， ∴可设P(x，x)( x>0)，则x=解得x=±4(负值舍去）， 点P(4, 4)如图，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大， ∵，，点C是QB的中点， ∴OA=AB，CB=CQ，AC=OQ， 当Q动到Q'时，OQ最大，此时