1.2.2 圆的一般方程（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（北师大版2019）

2．2　圆的一般方程 [学习目标]　1．理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般求圆心和半径．2．会在不同条件下求圆的一般方程． 知识点一　圆的一般方程 1．圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径 圆C的圆心为(－，－)，半径长为_． (1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) (2)已知a∈R，方程x2＋y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a的取值范围是________，圆心坐标是________，半径是________． 解析：　(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B． (2)由题可得42＋82－4×5a>0，解得a<4，所以a的取值范围为(－∞，4)，圆心为(－2，－4)，半径为 ，即． 答案：　(1)B　(2)(－∞，4)　(－2，－4)　 解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数．　　 即时练1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0． 解析：　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆． (2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆． (3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆． (4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为(x－)2＋y2＝()2， ∴它表示以(，0)为圆心，为半径长的圆． (链接教材P31例4)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 解析：　法一：待定系数法 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式，得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③ 由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根． ∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48．④ 联立①②④，解得或 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0． 法二：几何法 由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0． ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)． 又圆C的半径长r＝|CP|＝．① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|． ∴r2＝a2＋，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝． 故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37． 利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或易利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r． (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．　　 即时练2．过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为______________________． 解析：　将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的圆心为(2，－3)，半径为r＝|CM|＝＝5．所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25． 答案：　(x－2)2＋(y＋3)2＝25 即时练3．过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的方程为____________________． 解析：　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．由已知，点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组 解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0， 于是得到所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0． 答案：　x2＋y2－8x＋6y＝0 知识点二　圆的一般方程在代数结构上的特征 圆的一般方程在代数结构上的特征 对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时， ①x2，y2的系数相同，且不等于0，即